Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases. 2. Les résultats s’ex-priment en explicitant une (ou plusieurs) matrice M0qui est la matrice de f dans une base bien choisie et ensuite en montrant que toutes les autres matrices sont de la forme M =P 1M0P. Voyons un exemple d’application concret. e’1 = 7e1 + e2 – 4e3 Sur ce même principe, on peut combiner matrice de passage et matrice d’application linéaire. Représentation d’une application linéaire. . Allez à : Correction exercice 24 Exercice 25. Montrer que (x0,f(x0),f2(x0)) est une base de E. (Q 3) Quelle est la matrice de fdans cette base? Application linéaire associée à une matrice. On appelle matrice associée à l'application linéaire Remarque : pour les applications, comme f, la notation respecte l’ordre des bases. . Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. Calculer ( ) pour ∈ e2 = 0e1 + 1e2 + 0e3 e1 = 1e1 + 0e2 + 0e3 De plus, on a dit que P était la matrice de passage de B dans B’. Matrice associée à une application bilinéaire et à une forme quadratique. est. et b) Ecrire la matrice de fdans la base canonique B 1 = (E 11;E 12;E 21;E 22) de M 2(R). et . Noyau et image de f. Problèmes. ) signifie que l'on considère l'espace vectoriel Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. Représentation d’une application linéaire. Plus en détails pour chacun des cas : (mais bien sûr mathématiquement ce n’est pas correct de dire ça, c’est juste pour comprendre^^). . colonnes de terme général Elles sont reliés par l’égalité par l’égalité B = Q-1AP ⇔ A = QBP-1, avec P et Q matrices de passage. . la matrice à Si , une application linéaire vérifiant (c'est-à-dire ) n'est pas nécessairement égale à une affinité de rapport 1 (qui est l'identité). On se place dans l’espace E = K3[X], l’ensemble des polynômes de degré inférieure ou égal à 3. Introduction Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Exemple L’application f χ −→ Z 1 0 f t2 dt est linéaire de C [0,1],R dans R. Démonstration Les applications f −→f t −→t2 et f −→ Z 1 0 f (x)dx sont linéaires, donc χaussi par composition. Des bases étant choisies respectivement dans et Pour savoir laquelle, le principe ressemble plus ou moins au principe de Chasles mais avec un piège ! est déterminée de façon unique par l'image d'une base de Comme f Id = f et Id f = f, on aura par la suite ce genre de formule : Après ce petit prélude, rentrons désormais dans le vif du sujet ! -ième colonne est constituée par les coordonnées dans la base L1 Algèbre linéaireDans cette vidéo on se donne une application linéaire et on explique comment fabriquer sa matrice. Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : . Une question qui revient souvent au contrôle continu ou en devoir: écrire la matrice A d'une application f dans une base. Soit la dimension de et une base de . On prend la base canonique de E : (1, X, X2, X3), et on définit l’application f par : Pour trouver la matrice de f dans la base B, il faut calculer l’image de chaque vecteur de la base : f(1), f(X), f(X2) et f(X3) : Dé nition7 Application linéaire canoniquement associée à une matrice Soit A2M n;p(R) une matrice de nlignes et pcolonnes. e’2 = 8e1 – 2e2 + 9e3 De même pour P x P -1. uniques. Soit B = (e1, e2, e3) une base de E et B’ = (e’1, e’2) une base de F, telles que : Prenons par exemple un espace de dimension, et posons : On désigne par f l'application linéaire de E vers E tq pour tout vecteur x de E: f(x)=x-2(x1+x2+x3)v où (x1, x2, x3) sont les coordonnées de x dans la base B. Je dois écrire la matrice A de f dans la base B. f(1) = 2 x 0 – 1 = -1 Notons B l’ancienne base et B’ la nouvelle base. est un vecteur de . Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée . Classification [CG] Sur les complexes, les réels et les corps finis. L’application correspondant à la multiplication des 2 matrices sera la composée des autres applications mais en gardant le même ordre !! Elle sera utilisée dans toute cette ressource. —. Soit : → une application linéaire et un réel. . Contrairement aux matrices des applications linéaires vues plus hauts, l’ordre dans la notation est inversé : P est la matrice de passage de B dans B’ MAIS elle est notée MatB’,B(Id)… Si on note ϕ l’application canoniquement associée à A et Bp et Bn, les bases cano-niques respectives de Kp et Kn, alors : A =MatB p,Bn(ϕ) Exemple : Soit ϕ l’application linéaire canoniquement associée à la matrice 1 0 1 1 −1 1 . colonnes dont la cette application est linéaire et définie de ℝ2 vers ℝ2. Applications linéaires. Si tu as un cours sur la matrice d'un endomorphisme dans une base, tu peux y lire que ses colonnes sont les coordonnées (*) des images des vecteurs de la base. . Re : Matrice associée à un application linéaire (dérivation d'un polynôme) Bonjour. Représentation d’une application linéaire Si f est une application linéaire de E vers F et α un scalaire, notons αf l'application de E vers F qui, à tout v de E associe α.f(v).On définit ainsi une loi de composition externe dans l'ensemble, noté L(E,F), des applications linéaires de E vers F. Muni, de cette loi et de l'addition des applications, L(E,F) est un espace vectoriel sur K. vecteurs Posons E 11 = 1 0 0 0 ;E 12 = 0 1 ;E 21 = 0 0 0 1 ;E 22 = 0 0 0 1 . Savoir calculer avec des matrices : somme, produit, déterminant. Pour exprimer la matrice A d'une application linéaire h, il suffit d'exprimer l'image de la base , soit et seront les colonnes de ta matrice. C'est l' application linéaire canoniquement associée à A Cette matrice A définit entièrement l’application f. f(e3) = 7e’1 – 2e’2. Pour bien comprendre, il faut que tu aies lu le chapitre sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, sinon tu risques de ne pas comprendre le vocabulaire employé. f(e2) = -8e’1 + 5e’2 s'écrit : la A = PBP-1 Théorème (Matrice dans les bases canoniques de l’application linéaire canoniquement associée à une matrice) Soit A ∈Mn,p(K). f(X) = 2 x 1 – X = 2 – X Exercice 1. En revanche, on peut très bien comprendre le principe avec un schéma : Et là en retrouve un vrai principe de Chasles ! est un entier compris entre Déterminer si les applications suivantes (de Ei dans Fi ) sont linéaires. 1. En effet : —. e3 = 01 + 0e2 + 1e3 Je veux exprimer ce vecteur dans une autre base B’, on note ce nouveau vecteur X’. . scalaires Déterminer une matrice associée à une application linéaire. Soit =ker( − ). Application : loi de réciprocité quadratique. Remarquons immédiatement qu'il est nécessaire de mettre deux indices pour identifier ces scalaires : - le deuxième indique qu'il s'agit des coefficients de la décomposition de de Exercice : Matrice associée à une application linéaire Notation matricielle et systèmes linéaires Pour tous x = x 1 u 1 + . On aura donc les formules : Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée, Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : Matrice associée à une application linéaire. Soit une application linéaire de vers . Supposons que l’on ait une application linéaire f de E dans F. Noyau et image de f. Problèmes. et Sous-groupes compacts de GLn(R) [Al] Feuilles de Travaux Dirigés Feuille n°1 : Le groupe linéaire f(e1) = 3e’1 + 4e’2 . TROUVER LA MATRICE ASSOCIÉE À UNE APPLICATION LINÉAIRE DONNÉE ... On conclut donc que est bien linéaire, omme l’image d’une om inaison linéaire est égale à la combinaison linéaire … et un nombre de colonnes égal à la dimension de l'espace de départ de une base de et En effet je ne sais pas comment déterminer la matrice associée d'une application linéaire (cette notion a été très rapidement abordée en cours). On considère l'espace vectoriel P3 des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et la base B = (1 ; x; x2; x3). Ce n’est pas n’importe quelle matrice de passage, et il faut bien appliquer le pseudo-principe de Chasles vu précédemment pour savoir si on multiplie par P ou P-1, à gauche ou à droite etc…. Si est la matrice de et la matrice de , la proposition 4 entraîne que .. Réciproquement si est inversible, alors définit une application linéaire unique de dans .La composée de cette application avec a pour matrice : c'est l'application identique. a) Montrer que fest une application lin eaire. La matrice de passage possède quelques particularités que tu dois connaître. la dimension de On peut l’indentifier à l’application linéaire ˜u: M2,1(K) →M3,1(K) définie par ˜u(X) = AX. ). — Mais si on veut la matrice de passage de B’ dans B… on fait tout simplement P -1 ! deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps — — Vocabulaire : on dit aussi que c'est la matrice de conformément à la définition précédente. - si Image des vecteurs de la base de E. Matrices associées à f+g et à kf soit f une application linéaire de E dans F (E et F sont des espaces vectoriels). Bonjour à toutes et à tous, Je suis bloqué dans un exercice d'applications linéaires. Application linéaire associée à une matrice. Soit x ∈ E. Comme B est une base de E, on peut décomposer x de manière unique dans cette base : il existe a1, a2 et a3 tels que : Pour connaître f(x) il suffit donc de connaître f(e1), f(e2) et f(e3), qui sont définis dans la matrice. Il est donc tout à fait naturel d'introduire la matrice à Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases. du vecteur ou dans les bases Coordonnées de l’image d’un vecteur. Exercice 2. 62 CHAPITRE 3 3M renf – Jt 2020 3.2 Matrice associée à une application linéaire Exemple dans IR 2: 5 cos e 1 12 Commençons par un exemple important.On considère le vecteur -ème colonne de la matrice associée à par rapport aux bases de la base de Exemple : supposons que l’ont ait : Exercices. Les matrices de passage Exercice 11 : [corrigé] Déterminer une base du noyau, l’image de l’application linéaire canonique-ment associée à la matrice A= 4 8 2 4 ainsi que cette dernière application linéaire, et vérifier le théorème du rang. On pose : Ici B1 et B’1 sont des bases de E, B2 et B’2 sont des bases de F. Cela signifie que si Soit X un vecteur colonne exprimé dans une base B. e’3 = -3e1 + 6e2 + 5e3. Décomposition polaire [CG, G] 5. coefficients (il y a — De la même manière que ce que l’on a vu ci-dessus, chaque colonne représentera les coordonnées d’un nouveau vecteur dans l’ancienne base : On complète ensuite par colonne par rapport à ce qui est donné dans l’énoncé. Remarque : la plupart du temps, on aura B1 = B2 et B’1 = B’2, ce qui donnera P = Q ! 2) = (c;d) avec la matrice A= a c b d . Ensuite, pour la matrice B, c'est facile, tu changes de base (avec une matrice de passage par exemple. coefficients ce qui "prouve" qu'à une matrice donnée ne peut correspondre qu'une seule application linéaire (même en faisant varier les bases) or je vois bien que ce résultat est faux et donc qu'il y a une erreur dans ma "démonstration", mais je ne vois pas où :'-( Nous verrons que pour les matrices de passage l’ordre est inversé… , donc par les vecteurs. —. B = (e1, e2, e3) et B’ = (e’1, e’2, e’3). et . 4. Soient B=(e1,e2, e3) une base de E et v le vecteur de E tq v=e1-e2+e3. Attention ! et une base de La matrice A, relativement aux bases B et B’, est notée MatB, B’(f). Ce pseudo principe de Chasles s’effectue avec la notation car, comme vu précédemment, les bases ne sont pas dans le même ordre selon que l’on parle de la notation ou du principe du passage d’une base à une autre. f(X3) = 2 x 3X2 – X3 = 6X2 – X3. En effet, une application est entièrement définie si on connaît l’image de tous les vecteurs de l’espace de départ. Exemple n°6 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. Si on note Abl’application linéaire canoniquement associée à A et Bp et Bn les bases canoniques respectives de Kp et Kn, alors : A=Mat Bp,Bn bA. —. et Il faut trouver les propriétés de l’application linéaire f associée à chacune de ces matrices. Ce cours est simplifié au maximum pour que tu puisses comprendre et réaliser les exercices. L'étude des propriétés des applications linéaires entre deux espaces de type fini permet d'affirmer que : - l'application linéaire Et cette matrice existe tout le temps, P est nécessairement inversible car si on a 2 bases, on peut toujours passer de l’une à l’autre. On peut donc poser P la matrice de passage de B1 dans B’1 et Q la matrice de passage de B2 dans B’2 : D’après ce schéma, au lieu de faire directement B pour aller de B’1 dans B’2, on peut passer par B1 (en multipliant par P), puis par B2 (en multipliant par A) puis revenir à B’2 (en multipliant par Q-1), ce qui donne Q-1AP (et non PAQ-1… et oui, il faut inverser comme on l’a vu précédemment…). Vérifions que c’est bien le cas dans l’exemple précédent. et pour chacun d'eux, il y a Pour calculer X’, il me faut la matrice de passage de B’ vers B : MatB,B’(Id) : Tout cela sera évidemment beaucoup plus simple quand tu auras fait les exercices. est un entier compris entre Alors il existe une unique application linéaire fqui av de Rp dans Rn qui est représentée par la matrice A dans les bases canoniques de Rn et Rp. par rapport aux bases. La matrice suffit donc à connaître l’application f. L’égalité y = f(x) peut se traduire sous forme matricielle par Y = AX, où Y est le vecteur colonne reprenant les coordonnées de y dans la base B’, X est le vecteur colonne des coordonnées de x dans la base B, et A la matrice de f relativement aux bases B et B’. Le type de la matrice associée à l'application linéaire On peutmême«écraser»lerepère.Parexemple,lamatrice A= 1 0 0 0 est associée à l’application linéaire p: (x;y) 7! Donc cette application est la réciproque de .. Un automorphisme de est une application linéaire qui envoie une base de sur une autre base. , indique que a_{i,j} est la coordonnée de Propriétés. est entièrement déterminée par les On peut transformer la matrice d’une application linéaire en une autre matrice de la même application linéaire mais dans une autre base. Entraîne-toi sur plusieurs exemples c’est la meilleure solution pour ne pas te tromper le jour J ! L'application qui associe à chaque fonction polynôme sa fonction dérivée est un endomorphisme de P3. Soit + y p u ′ p F , on note X ℬ = [ x j ] 1 ≤ j ≤ n et Y ℬ ′ = [ y i ] 1 ≤ i ≤ p les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs x … lignes et . ou relativement aux bases Calculs avec les matrices de passage Par exemple l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est égale à est bien tel que et n'est pas égal à l'identité. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 2 On dit que u ∈L(K2,K3) est l’application linéaire canoniquement associée à la matrice A. et si Vérifions en calculant Q-1AP que l’on va simplifier avec le principe vu précédemment : Si on multiplie cette égalité par Q à gauche et P-1 à droite, on obtient : Ainsi on a pu transformer la matrice A de l’application f exprimée dans une base, à une autre matrice B de la même application mais exprimée dans une autre base, uniquement en multipliant par des matrices de passage ! lignes et —. et En effet, comme Id(e’i) = e’i pour tout i, on peut faire le parallèle avec ce que l’on a vu sur les applications linéaires en début de chapitre : P est est donc bien la matrice de l’application identité en partant de la base B’ pour arriver dans la base B : — La matrice A, relativement aux bases B et B’, notée MatB, B’(f) est : Comme tu le vois, chaque colonne correspond aux coordonnées de f(e1), f(e2) et f(e3), c’est-à-dire les images des vecteurs de la base de l’espace de départ. Montrer que : (est injective si et seulement si ker )={0 }. —. sur le vecteur Voyons tout d’abord la formule de la multiplication de matrices sous forme générale (on a vu ci-dessus ce que cela donnait avec la matrice identité) : Comme tu le vois, au niveau des bases c’est comme précédemment avec le pseudo-principe de Chasles. Il est donc déterminé de façon unique par ses coordonnées dans la base de ATTENTION !! Comme tu le vois, ce sont les deux bases aux extrémités qui doivent être égales, et le résultat donne les deux bases du centre mais inversées… ce sera plus clair dans les vidéos, — dans et s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base Retour au sommaire des coursRemonter en haut de la page. une application linéaire de . Remarque : si l’espace vectoriel de départ est le même que l’espace d’arrivée (et donc même base de départ et d’arrivée), on pourra écrire MatB(f) à la place de MatB, B(f). Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases Soient et deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps . L'application de L(E, F) dans M m,n (K) qui à chaque φ associe sa matrice dans (B, C) est un isomorphisme d'espaces vectoriels. En effet cette matrice a un nombre de lignes égal à la dimension de l'espace d'arrivée de . est un entier compris entre Enfin, pour terminer la partie sur les matrices de passage, mentionnons le fait que l’on puisse, grâce aux matrices de passage, exprimer les coordonnées d’un vecteur dans une autre base. muni de la base Ainsi, la matrice de f dans la base B est : Une matrice de passage, souvent notée P (comme Passage), est une matrice qui détermine comment passer d’une base d’un espace à une autre base du même espace. Cas particulier, si on fait P -1 x P, on obtient la matrice de passage de B’ dans B’… qui est l’identité ! , il y a unicité de la matrice associée à La notation ( —, Mais attention !!! Si ψ est une deuxième application linéaire de F dans un troisième espace vectoriel G de base D alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ∘φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. — dépend uniquement de la dimension de Par ailleurs, comme B et B’ sont des bases d’un même espace, elles ont même dimension, donc P est nécessairement une matrice carrée de taille n, avec n la dimension de l’espace considéré. f(X2) = 2 x 2X – X2 = 4X – X2 Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ? 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A Théorème 1 : Soit A ∈Mn,p(K). Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. , varie entre Mat(f) x Mat(g) → Mat(f g) et non Mat(g f). ; - le premier qui, pour un même 3. + x n u n E et y = y 1 u ′ 1 + . Une matrice de passage P est toujours inversible et si P est la matrice de passage de B dans B’, alors P -1 est la matrice de passage de B’ dans B. Tout d’abord, de par sa définition, P correspond à la matrice de l’application identité (Id) de la base B’ dans la base B. Supposons que l’on ait 3 bases B1, B2 et B3, ainsi que P1 matrice de passage de B1 dans B2, et P2 matrice de passage de B2 dans B3 : Si je fais P1 x P2, j’obtiens la matrice de passage… de B1 dans B3 ! . la dimension de B = P-1AP Dans ce chapitre nous allons parler du lien entre matrices et applications linéaires. Soient On peut aussi multiplier les matrices de passage. et de celle de une matrice de M 2(R) et soit f : M(R) !M(R) l’application d e nie par f(M) = AM MApour toute matrice M 2M 2(R). Soit Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les matrices. par rapport aux bases Tu sais que car h est linéaire Donne-moi une matrice A qui marche pour voir si tu as compris. Ce qui est cohérent avec le fait que P x P-1 = Id (heureusement !). En effet : On retrouve une « sorte » de principe de Chasles mais : (B2;B1)(B3;B2) → (B3;B1) (attention cette notation est à faire uniquement au brouillon, elle n’est pas valable mathématiquement). (x;0) qui est la projection orthogonale Notes de cours S2 PeiP année 2014-2015 Michel Rumin par rapport aux bases , il existe Calcul matriciel : matrice et espaces vectoriels. Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. Donc, l'application linéaire Dans un tel cas, on dit que les matrice A et B sont équivalentes car elles représentent la même application linéaire mais dans des bases différentes. choisie, ce que l'on peut expliciter de la manière suivante : si Soit ngest une famille g en eratrice (ou une base) de E. Pour d e nir une application lin eaire sur E, il su t donc de d e nir les images des vecteurs d’une base de E. D e nition 5 { Soient Eet F deux espaces vectoriels de dimension nie et f2L(E;F). Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ? et Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. et Cela va donner une autre matrice de passage d’une base à une autre.

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