TD 3 du cours Introduction aux E.D.P. Transformée de Fourier La transformée de Fourier (notée ou TF) d’une fonction f donnée est une opération qui transforme une fonction f intégrable sur ℝ en une autre fonction notée . ℱ∶ ( ) = 1 2 +∞ −∞ La transformation de Fourier diffère du développe-ment en série de Fourier qui ne se fait que pour des fonctions périodiques et qui engendre des coefficients cndiscrets. Soit le signal temporel suivant : x(t)= (h, si a < t < b 0, sinon a b h t x(t) (a) Calculer la transformée de Fourier du signal x(t)par calcul direct. Principe de la FFT La FFT utilise le formalisme de la TFD complexe. c. Calculer les transform ees de Fourier sur de f : x 7!ej xj et de g : x 7!1=(1+x2). A chaque fois la suite des Transformée de Fourier A. Définition La transformation de Fourier constitue la généralisation du développement en série de Fourier en termes complexes aux fonctions non périodiques. On peut constater que la transformée de Fourier agit sur un signal continu et fournit un signal dans l’espace de Fourier. Transformation de Fourier. (b) Calculer la transformée de Fourier du signal x(t)en utilisant les propriétés du cours. Transformation de Fourier d’une fonction de L1(R). sinx [ a;a](x). II -Coefficients et série de Fourier II.A -Coefficients de Fourier Définition(Coefficients de Fourier trigonométriques): Soit f: R!R une fonc-tion continue par morceaux et T-périodique. Méthode de J.W.Cooley et J.W.Tuckey (1965) 1 ère étape : Décompositions par alternance du signal de N = 2 m points dans le domaine temporel en N signaux de 1 point. Definition´ Soit f 2L1(R) a valeurs r` eelles ou complexes. Exercice I : 1. 2.Le fait d’appliquer la transformée de Fourier (en x) sur l’équation initiale donne, pourxfixé v0(t)+x2v(t) = 0: (Rappelons que l’on a admis que \ @u @t x = @ @t u^ x, c’est-à-dire v0(t) = \ @u @t x, et pour le second terme du membre de gauche, on utilise la propriété de dérivation dansledomainetemporel,icilavariablex.) Calculer la transform ee de Fourier de la fonction f. D ecrire en une phrase ce qui se passe quand a tend vers +1. d. La transformée de Fourier est une fonction bidimensionnelle dans l'espace des fréquences. On pose´ 8y 2R; bf(y) = Z R f(x)e ixydx La fonction fbest la transformee de Fourier de´ f. Cependant (gy: x 7!eixy) 2= L1(R). TRANSFORMATION DE FOURIER Définition La transformation de Fourier permet de décrire dans l'espace des fréquences un signal dont on connaît l'histoire au cours du temps, et réciproquement. Transformée de Fourier Rapide Cours DSP. Analyse de Fourier Sylvie Benzoni1 1er juillet 2011 1Universit´e de Lyon / Lyon 1 / ICJ, benzoni@math.univ-lyon1.fr x y f(x,y) Image source f espace des images Domaine transformé F espace fréquentiel F F(ω,ωx y) ωx ωy Figure 1 – Transformée de Fourier Les variables de la transformée … La transformée de Fourier d'une fonction f(t) est définie par : [ ]∫+∞ −∞ ωF(j ) =TF f(t) = f(t)e −ωj t dt 2. Calculer la transform ee de Fourier de la mesure de Dirac 1. b. Soient a > 0 un r eel et f la fonction train d’onde f : x 7! Les coefficients de Fourier trigono-métriques de f sont pour tout n 2N⁄ les réels a0(f) ˘ 1 T Z T 0 f … EA1-OutilsMathématiques Année2015-2016 Chapitre8-TravauxDirigés Transformée de Fourier Exercice 1 DéterminerlatransforméedeFourierdesfonctionssuivantes: Pour retravailler avec le produit scalaire hf;gi= Z R f(x)g(x)dx il va nous falloir beaucoup d’efforts. ω DUALITE TEMPS-FREQUENCES y = f (t) <=> Y =F(f) F(f) est appelée la transformée de Fourier de f(t) et sa représentation, Transformée de Fourier d’une dérivée partielle seconde: TF[ ∂2f/ ∂x2]( u) = - 4π2 u x 2 TF[f](u) Les opérations de dérivation partielle n fois ∂ n / ∂xn se réduisent à des multiplications par (2i π u x)n Transformée de Fourier d’un Laplacien:

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