1. Vérifions que c’est bien le cas dans l’exemple précédent. Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. —, Mais attention !!! Si on note ϕ l’application canoniquement associée à A et Bp et Bn, les bases cano-niques respectives de Kp et Kn, alors : A =MatB p,Bn(ϕ) Exemple : Soit ϕ l’application linéaire canoniquement associée à la matrice 1 0 1 1 −1 1 . Théorème (Matrice dans les bases canoniques de l’application linéaire canoniquement associée à une matrice) Soit A ∈Mn,p(K). Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ? Ce qui est cohérent avec le fait que P x P-1 = Id (heureusement !). Application linéaire associée à une matrice. — Supposons que l’on ait une application linéaire f de E dans F. f(X2) = 2 x 2X – X2 = 4X – X2 On peut aussi multiplier les matrices de passage. -ième colonne est constituée par les coordonnées dans la base et et pour chacun d'eux, il y a et une base de — la matrice à Des bases étant choisies respectivement dans Coordonnées de l’image d’un vecteur. Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Exemple L’application f χ −→ Z 1 0 f t2 dt est linéaire de C [0,1],R dans R. Démonstration Les applications f −→f t −→t2 et f −→ Z 1 0 f (x)dx sont linéaires, donc χaussi par composition. uniques. Soit Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. Soit : → une application linéaire et un réel. Savoir calculer avec des matrices : somme, produit, déterminant. — Plus en détails pour chacun des cas : Le type de la matrice associée à l'application linéaire Les matrices de passage f(X) = 2 x 1 – X = 2 – X Calculs avec les matrices de passage colonnes de terme général et Ainsi, la matrice de f dans la base B est : Une matrice de passage, souvent notée P (comme Passage), est une matrice qui détermine comment passer d’une base d’un espace à une autre base du même espace. . Il faut trouver les propriétés de l’application linéaire f associée à chacune de ces matrices. une application linéaire de scalaires e2 = 0e1 + 1e2 + 0e3 . et Montrer que : (est injective si et seulement si ker )={0 }. Pour calculer X’, il me faut la matrice de passage de B’ vers B : MatB,B’(Id) : Tout cela sera évidemment beaucoup plus simple quand tu auras fait les exercices. Et cette matrice existe tout le temps, P est nécessairement inversible car si on a 2 bases, on peut toujours passer de l’une à l’autre. dans En revanche, on peut très bien comprendre le principe avec un schéma : Et là en retrouve un vrai principe de Chasles ! 2. Remarque : pour les applications, comme f, la notation respecte l’ordre des bases. , donc par les vecteurs. B = P-1AP On se place dans l’espace E = K3[X], l’ensemble des polynômes de degré inférieure ou égal à 3. Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les matrices. (mais bien sûr mathématiquement ce n’est pas correct de dire ça, c’est juste pour comprendre^^). Allez à : Correction exercice 24 Exercice 25. Déterminer si les applications suivantes (de Ei dans Fi ) sont linéaires. Contrairement aux matrices des applications linéaires vues plus hauts, l’ordre dans la notation est inversé : P est la matrice de passage de B dans B’ MAIS elle est notée MatB’,B(Id)… —. + y p u ′ p F , on note X ℬ = [ x j ] 1 ≤ j ≤ n et Y ℬ ′ = [ y i ] 1 ≤ i ≤ p les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs x … conformément à la définition précédente. Matrice associée à une application bilinéaire et à une forme quadratique. Par ailleurs, comme B et B’ sont des bases d’un même espace, elles ont même dimension, donc P est nécessairement une matrice carrée de taille n, avec n la dimension de l’espace considéré. Il est donc tout à fait naturel d'introduire la matrice à Exercice : Matrice associée à une application linéaire Notation matricielle et systèmes linéaires Pour tous x = x 1 u 1 + . et . Montrer que (x0,f(x0),f2(x0)) est une base de E. (Q 3) Quelle est la matrice de fdans cette base? Noyau et image de f. Problèmes. 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A Théorème 1 : Soit A ∈Mn,p(K). Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. . f(1) = 2 x 0 – 1 = -1 Calculer ( ) pour ∈ De plus, on a dit que P était la matrice de passage de B dans B’. Soient Soit —. Représentation d’une application linéaire L’application correspondant à la multiplication des 2 matrices sera la composée des autres applications mais en gardant le même ordre !! Décomposition polaire [CG, G] 5. et —. et de celle de On aura donc les formules : et . deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps Exercices. Exercice 2. Application linéaire associée à une matrice. . ) signifie que l'on considère l'espace vectoriel Prenons par exemple un espace de dimension, et posons : Une question qui revient souvent au contrôle continu ou en devoir: écrire la matrice A d'une application f dans une base. du vecteur Vérifions en calculant Q-1AP que l’on va simplifier avec le principe vu précédemment : Si on multiplie cette égalité par Q à gauche et P-1 à droite, on obtient : Ainsi on a pu transformer la matrice A de l’application f exprimée dans une base, à une autre matrice B de la même application mais exprimée dans une autre base, uniquement en multipliant par des matrices de passage ! f(e1) = 3e’1 + 4e’2 . Si tu as un cours sur la matrice d'un endomorphisme dans une base, tu peux y lire que ses colonnes sont les coordonnées (*) des images des vecteurs de la base. —. et Dé nition7 Application linéaire canoniquement associée à une matrice Soit A2M n;p(R) une matrice de nlignes et pcolonnes. Par exemple l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est égale à est bien tel que et n'est pas égal à l'identité. 2) = (c;d) avec la matrice A= a c b d . f(e2) = -8e’1 + 5e’2 Nous verrons que pour les matrices de passage l’ordre est inversé… Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : - si Image des vecteurs de la base de E. Matrices associées à f+g et à kf . coefficients (il y a On pose : Ici B1 et B’1 sont des bases de E, B2 et B’2 sont des bases de F. ; - le premier qui, pour un même Exemple n°6 Si est la matrice de et la matrice de , la proposition 4 entraîne que .. Réciproquement si est inversible, alors définit une application linéaire unique de dans .La composée de cette application avec a pour matrice : c'est l'application identique. (x;0) qui est la projection orthogonale Notes de cours S2 PeiP année 2014-2015 Michel Rumin Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. Classification [CG] Sur les complexes, les réels et les corps finis. En effet je ne sais pas comment déterminer la matrice associée d'une application linéaire (cette notion a été très rapidement abordée en cours). Exemple : supposons que l’ont ait : la dimension de Noyau et image de f. Problèmes. sur le vecteur colonnes dont la La matrice A, relativement aux bases B et B’, notée MatB, B’(f) est : Comme tu le vois, chaque colonne correspond aux coordonnées de f(e1), f(e2) et f(e3), c’est-à-dire les images des vecteurs de la base de l’espace de départ. e’1 = 7e1 + e2 – 4e3 Tu sais que car h est linéaire Donne-moi une matrice A qui marche pour voir si tu as compris. est un vecteur de Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. Comme tu le vois, ce sont les deux bases aux extrémités qui doivent être égales, et le résultat donne les deux bases du centre mais inversées… ce sera plus clair dans les vidéos, — De la même manière que ce que l’on a vu ci-dessus, chaque colonne représentera les coordonnées d’un nouveau vecteur dans l’ancienne base : On complète ensuite par colonne par rapport à ce qui est donné dans l’énoncé. Tout d’abord, de par sa définition, P correspond à la matrice de l’application identité (Id) de la base B’ dans la base B. Entraîne-toi sur plusieurs exemples c’est la meilleure solution pour ne pas te tromper le jour J ! et e1 = 1e1 + 0e2 + 0e3 coefficients . -ème colonne de la matrice associée à par rapport aux bases choisie, ce que l'on peut expliciter de la manière suivante : si Remarquons immédiatement qu'il est nécessaire de mettre deux indices pour identifier ces scalaires : - le deuxième indique qu'il s'agit des coefficients de la décomposition de Cas particulier, si on fait P -1 x P, on obtient la matrice de passage de B’ dans B’… qui est l’identité ! lignes et cette application est linéaire et définie de ℝ2 vers ℝ2. Si , une application linéaire vérifiant (c'est-à-dire ) n'est pas nécessairement égale à une affinité de rapport 1 (qui est l'identité). On appelle matrice associée à l'application linéaire + x n u n E et y = y 1 u ′ 1 + . par rapport aux bases . Si ψ est une deuxième application linéaire de F dans un troisième espace vectoriel G de base D alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ∘φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. Soit =ker( − ). —. et s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base TROUVER LA MATRICE ASSOCIÉE À UNE APPLICATION LINÉAIRE DONNÉE ... On conclut donc que est bien linéaire, omme l’image d’une om inaison linéaire est égale à la combinaison linéaire … Bonjour à toutes et à tous, Je suis bloqué dans un exercice d'applications linéaires. ngest une famille g en eratrice (ou une base) de E. Pour d e nir une application lin eaire sur E, il su t donc de d e nir les images des vecteurs d’une base de E. D e nition 5 { Soient Eet F deux espaces vectoriels de dimension nie et f2L(E;F). Soit Si on note Abl’application linéaire canoniquement associée à A et Bp et Bn les bases canoniques respectives de Kp et Kn, alors : A=Mat Bp,Bn bA. Soit B = (e1, e2, e3) une base de E et B’ = (e’1, e’2) une base de F, telles que : On considère l'espace vectoriel P3 des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et la base B = (1 ; x; x2; x3). e’3 = -3e1 + 6e2 + 5e3. est entièrement déterminée par les 4. , il existe Exercice 11 : [corrigé] Déterminer une base du noyau, l’image de l’application linéaire canonique-ment associée à la matrice A= 4 8 2 4 ainsi que cette dernière application linéaire, et vérifier le théorème du rang. Pour bien comprendre, il faut que tu aies lu le chapitre sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, sinon tu risques de ne pas comprendre le vocabulaire employé. On peutmême«écraser»lerepère.Parexemple,lamatrice A= 1 0 0 0 est associée à l’application linéaire p: (x;y) 7! a) Montrer que fest une application lin eaire. L'étude des propriétés des applications linéaires entre deux espaces de type fini permet d'affirmer que : - l'application linéaire Déterminer une matrice associée à une application linéaire. On prend la base canonique de E : (1, X, X2, X3), et on définit l’application f par : Pour trouver la matrice de f dans la base B, il faut calculer l’image de chaque vecteur de la base : f(1), f(X), f(X2) et f(X3) : de la base de Supposons que l’on ait 3 bases B1, B2 et B3, ainsi que P1 matrice de passage de B1 dans B2, et P2 matrice de passage de B2 dans B3 : Si je fais P1 x P2, j’obtiens la matrice de passage… de B1 dans B3 ! Elles sont reliés par l’égalité par l’égalité B = Q-1AP ⇔ A = QBP-1, avec P et Q matrices de passage. Représentation d’une application linéaire. En effet, une application est entièrement définie si on connaît l’image de tous les vecteurs de l’espace de départ. Cette matrice A définit entièrement l’application f. — . Soit x ∈ E. Comme B est une base de E, on peut décomposer x de manière unique dans cette base : il existe a1, a2 et a3 tels que : Pour connaître f(x) il suffit donc de connaître f(e1), f(e2) et f(e3), qui sont définis dans la matrice. Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases Soient et deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps . —. Sur ce même principe, on peut combiner matrice de passage et matrice d’application linéaire. La matrice A, relativement aux bases B et B’, est notée MatB, B’(f). une matrice de M 2(R) et soit f : M(R) !M(R) l’application d e nie par f(M) = AM MApour toute matrice M 2M 2(R). Voyons un exemple d’application concret. ou relativement aux bases On peut l’indentifier à l’application linéaire ˜u: M2,1(K) →M3,1(K) définie par ˜u(X) = AX. vecteurs Propriétés. est un entier compris entre Ce n’est pas n’importe quelle matrice de passage, et il faut bien appliquer le pseudo-principe de Chasles vu précédemment pour savoir si on multiplie par P ou P-1, à gauche ou à droite etc…. B = (e1, e2, e3) et B’ = (e’1, e’2, e’3). Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases. Donc cette application est la réciproque de .. Un automorphisme de est une application linéaire qui envoie une base de sur une autre base. soit f une application linéaire de E dans F (E et F sont des espaces vectoriels). par rapport aux bases et Je veux exprimer ce vecteur dans une autre base B’, on note ce nouveau vecteur X’. C'est l' application linéaire canoniquement associée à A Voyons tout d’abord la formule de la multiplication de matrices sous forme générale (on a vu ci-dessus ce que cela donnait avec la matrice identité) : Comme tu le vois, au niveau des bases c’est comme précédemment avec le pseudo-principe de Chasles. est un entier compris entre , indique que a_{i,j} est la coordonnée de ATTENTION !! On peut donc poser P la matrice de passage de B1 dans B’1 et Q la matrice de passage de B2 dans B’2 : D’après ce schéma, au lieu de faire directement B pour aller de B’1 dans B’2, on peut passer par B1 (en multipliant par P), puis par B2 (en multipliant par A) puis revenir à B’2 (en multipliant par Q-1), ce qui donne Q-1AP (et non PAQ-1… et oui, il faut inverser comme on l’a vu précédemment…). Une matrice de passage P est toujours inversible et si P est la matrice de passage de B dans B’, alors P -1 est la matrice de passage de B’ dans B. Dans ce chapitre nous allons parler du lien entre matrices et applications linéaires. . Elle sera utilisée dans toute cette ressource. de Comme f Id = f et Id f = f, on aura par la suite ce genre de formule : Après ce petit prélude, rentrons désormais dans le vif du sujet ! Notons B l’ancienne base et B’ la nouvelle base. Ensuite, pour la matrice B, c'est facile, tu changes de base (avec une matrice de passage par exemple. Cela signifie que si A = PBP-1 Les résultats s’ex-priment en explicitant une (ou plusieurs) matrice M0qui est la matrice de f dans une base bien choisie et ensuite en montrant que toutes les autres matrices sont de la forme M =P 1M0P. . Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases. la dimension de Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée, Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : f(X3) = 2 x 3X2 – X3 = 6X2 – X3. 62 CHAPITRE 3 3M renf – Jt 2020 3.2 Matrice associée à une application linéaire Exemple dans IR 2: 5 cos e 1 12 Commençons par un exemple important.On considère le vecteur e3 = 01 + 0e2 + 1e3 ce qui "prouve" qu'à une matrice donnée ne peut correspondre qu'une seule application linéaire (même en faisant varier les bases) or je vois bien que ce résultat est faux et donc qu'il y a une erreur dans ma "démonstration", mais je ne vois pas où :'-( , il y a unicité de la matrice associée à Soit la dimension de et une base de . 3. On peut transformer la matrice d’une application linéaire en une autre matrice de la même application linéaire mais dans une autre base. s'écrit : la Pour exprimer la matrice A d'une application linéaire h, il suffit d'exprimer l'image de la base , soit et seront les colonnes de ta matrice. Si f est une application linéaire de E vers F et α un scalaire, notons αf l'application de E vers F qui, à tout v de E associe α.f(v).On définit ainsi une loi de composition externe dans l'ensemble, noté L(E,F), des applications linéaires de E vers F. Muni, de cette loi et de l'addition des applications, L(E,F) est un espace vectoriel sur K.

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