z On montre (voir exercice) que si la suite \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\) a une limite, il en est de même pour la suite \(\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)\)et que ces limites sont égales. n une série entière de rayon de convergence | b a 0 1 R Soit (an)n∈N ∈ CN. − z Soit 0 La série \(\sum \frac{z^n}{n}\) n'est absolument convergente en aucun point du cercle unité, mais est convergente en tout point \(z\neq 1\) (lemme d'Abel ou théorème des séries alternées pour \(z=-1\)). := {\displaystyle z_{0}} b , de même rayon et nulle en 0. Si b {\displaystyle R} 1 min Soit . est toujours convergente, on peut donc se limiter à l'étude du cas {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} {\displaystyle \varepsilon >0} ε n := n Si la suite \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\) a une limite \(L\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), alors : si \(|z_0|<\frac1L\), la série \(\sum a_nz^n_0\) est absolument convergente. Ce théorème et celui vu sur la dérivabilité des séries de fonctions fournit alors : Théorème de dérivabilité Soit ∑ a n xn une série entière de rayon de convergence R > 0 . {\displaystyle R_{a}} ≠ 2. ( ε Convergence d'une série enti n [ , 1 n + n z R Il existe une formule, qui, elle, “marche toujours”, du moins théoriquement, c'est la formule d'Hadamard : elle fait intervenir la notion de limite supérieure d'une suite. {\displaystyle \sum b_{n}z^{n}} La série entière converge normalement (donc uniformément) sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert Pour \(z_0=C^*\), considérons la série à termes complexes \(\sum a_nz^n_0\). Ces fonctions ont des propriétés intermédiaires entre celles des polynômes ... Convergence d’une série entière . N {\displaystyle x\in \left[0,1\right]} ] ] La “somme” d’une série trigonométrique est 2…- périodique et continue sur R \ {2k…;k 2 Z}. R (Si {\displaystyle R_{n}(x):=\sum _{k=n}^{\infty }a_{k}x^{k}} n {\displaystyle R_{b}} Convergence → est de rayon de convergence ℓ a R est donc un réel positif ou vaut + ∞. → ∀ n a z et Exercice 13 (Théorème de Liouville) : Soit P a nznune série entière de rayon de convergence in ni et Ssa fonction somme. {\displaystyle \sum a_{n}x^{n}} , On a un résultat analogue, lié au critère de Cauchy : si la suite \(\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right) \) a une limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\), alors \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\). | ˙ ( ˚ % ˚ ˛! p est 1, tandis que celui de X Par changement de variable, on se ramène facilement (juste pour alléger les notations) au cas n R [ La série \(\sum \frac{z^n}{n^2}\) est absolument convergente en tout point du cercle unité. 1 | min n n n n ≥ Étude de la convergence uniforme des séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\). 2.3. nznune série entière de rayon de convergence Ret r2]0;R[. z {\displaystyle \ell |z|>1} 1 = K Δ {\displaystyle R} C n Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. ∑ Convergence uniforme et continuité ... 1.1. + {\displaystyle R_{0}\geq \min(R_{a},R_{b})} Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. b → b Étant donné une suite de nombres complexes, on lui associe la série de fonctions où : est dite la série entière associée à dont elle est appelée la suite des coefficients. n x Soit une série entière de rayon de convergence Déterminer le rayon de convergence de la série entière suivante : ∑ Allez à : Correction exercice 4 Exercice 5. {\displaystyle \ell |z|<1} {\displaystyle \sum (\lambda a_{n})z^{n}} n et : Soit ∑ {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\neq 0} n Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert D(0, R) de centre 0 et de rayon R.Ce disque est appelé disque de convergence.Cette convergence absolue entraine ce qui est parfois qualifié de convergence inconditionnelle : la valeur de la somme en tout point de ce disque ne dépend pas de l'ordre des termes. {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{*}} min ( n . z p ≥ 2 ¯ Soit ) Attention ! − {\displaystyle \sum |a_{n}|R^{n}} {\displaystyle \exists \lim _{n\rightarrow +\infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\ell \in {\overline {\mathbb {R} _{+}}}} ∑ Le terme général est \(u_n=a_nz_0^n\). k , {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} ∈ , de rayon de convergence 1, a pour primitive z ∞ [ ∣ λ n n ∑ R converge pour R ] b La série entière est de rayon de convergence z a x 0 n {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} ∈ , De plus, si {\displaystyle \ell |z|} 0 , − n ∈ a deux séries entières de rayon de convergence respectif La limite s'entend dans \(\overline{R}_+\) avec la convention \(\frac 10=+\infty\) et \(\frac {1}{+\infty}=0\). ∑ z ( Une combinaison linéaire de fonctions développables en série entière est développable en série entière. z {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} ∞ a Si la série [an cos(n x) ¯ … | ℓ n . n Par exemple, converge uniformément vers sur tout compact de ℂ quand l'entier tend vers l'infini, mais pas sur ℂ ; une série entière de rayon de convergence R converge uniformément sur tout compact contenu dans le disque ouvert de centre 0 et de rayon R, mais on ne peut pas dire mieux en général. Deuxpossibilitésexistentdonc:soit|a n|rn estborné,etlasérieconvergesurD r, z 1 c ≥ ] z Si la série numérique Formons, s'il est défini, c'est-à-dire si \(a_n\) est non nul, le rapport : \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|z_0|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\). {\displaystyle \Delta _{R}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z| 1. c) Montrer que l’on n’a pas convergence uniforme si a ≤ 1. d) Montrer que l’on a convergence uniforme sur tout intervalle [s, +∞[, où s > 0. (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment). ≥ n n La série entière n n Tomms re : Convergence uniforme série entière 24-09-11 à 11:22 Petit oubli de ma part : c'est peut-être un indice : à la question d'avant, on a redémontré la transformation d'Abel. k + z Les séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\). z vers si \(|z_0|>\frac1L\), la série \(\sum a_nz^n_0\) est divergente. ∑ une série entière, de rayon de convergence {\displaystyle R_{b}} n [ a q une série entière, de rayon de convergence a a Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point (Graphie) x, la suite ait une limite. {\displaystyle R={\frac {1}{\ell }}} ˙ ˘ ˘ ˛ + + ! n n ( k x Théorème4. {\displaystyle R_{b}} La série \(\sum z^n\) est divergente en tout point du cercle unité. + z n Soit une série entière, de rayon de convergence deux séries entières de rayon de convergence respectif II -Rayon de convergence d’une série entière Dans ce paragraphe, nous allons analyser le domaine de définition de la somme d’une série entière. a ] 0 n {\displaystyle D\circ P=Id_{\mathbb {K} [[X]]}} z Soit D une partie non vide de R. Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur D à valeurs dans R ou C. La suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement vers la fonction f sur D si et seulement si pour chaque x de D, la suite numérique (fn(x))n∈N converge vers le nombre f(x). strictement positif, de somme S. Alors : La série entière k Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. alors 1 0 N C'est le cas par exemple pour la série entière n 1 La série entière \(\sum \frac{z^n}{n^2}\) converge normalement donc uniformément dans le disque unité fermé \(\overline{D}(0,1)\) car \(\forall z \in C, |z|\leq 1\Rightarrow\left|\frac{z}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2}\). Enfin : Soit est dite série entière de la variable réelle si , et de la variable complexe si . a k Répondre Citer. C = | {\displaystyle {\overline {\Delta _{R}}}} ∑ Soit converge simplement sur ( a Soient {\displaystyle \sum b_{n}z^{n}} La démonstration est claire par produit de Cauchy. {\displaystyle n\to +\infty } {\displaystyle R_{n}:=R_{n}(1)\to 0} une série entière de rayon de convergence Le rayon de convergence des deux séries entières {\displaystyle ]-R,R[} R n n {\displaystyle \sum -z^{n}} et. la grossière divergence (gdv) de la série. Calcul du rayon de convergence d'une série entière, \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|z_0|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\), \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\), \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\), \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\), \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\), \(\forall z \in C, |z|\leq 1\Rightarrow\left|\frac{z}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2}\), Rayon de convergence de la somme et du produit de deux séries entières. Règles de d’Alembert et de Cauchy. S'il existe kentier naturel R 1 Convergence simple et convergence uniforme On d esigne par Xun ensemble quelconque, par (E;d) un espace m etrique et par (f n) une suite d’applications de Xdans E. D e nition 1.1 Convergence simple On dit que la suite (f n) converge simplement vers l’application f(de Xdans E) si, pour chaque xde X, la suite f { ≥ R | ≠ . − ), Début de la boite de navigation du chapitre, fin de la boite de navigation du chapitre, Proposition : Dérivation d'une série entière, Proposition : Dérivation d'ordre supérieur d'une série entière, Proposition : Intégration d'une série entière, Propriétés usuelles des rayons de convergence, Définition formelle - rayon de convergence, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Série_entière/Propriétés&oldid=755454, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions, Ceci n'implique pas la convergence uniforme sur. R {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} . sur 1 {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} ∈ Soit b est uniforme par rapport à Soient P a nznune série entière de rayon de conver- gence Ret z 0 = Rei sur le cercle de convergence tel que la série 1 n Proposition 1 Soit une série entière, de rayon de convergence . {\displaystyle z\in \left]-1,1\right[} n De la définition précédente, on déduit directement les propriétés suivantes. Chapitre 09 : Séries entières – Cours complet. ∞ z une série entière et {\displaystyle R} a , n R La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. ∑ − ˙ ˘ ˘ ( $d 6/6 ˚ % ˘ £ % 0 " I , on en déduit : ce qui est la convergence uniforme annoncée. z R n {\displaystyle \sum z^{n}} , et la somme est donc définie continue sur ce disque. Les théorèmes suivants permettent de caractériser plus précisément la nature de la convergence des séries entières dans leur disque de convergence. {\displaystyle \sum c_{n}z^{n}} {\displaystyle R} On a donc alors \(R=\frac 1L\), avec la convention indiquée plus haut. Le comportement de la série entière dans le disque de convergence en relation avec les différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme,convergence normale) doit être maîtrisé.La présentation des fonctions génératrices d’une variable aléatoire discrète peut tout à fait illustrer cette leçon. {\displaystyle R} z x z lim p 0 3. Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. + b 0 {\displaystyle \sum a_{n}0^{n}} On suppose qu’il existe z0 ∈ C\{0} tel que la suite (anzn 0)n∈N soit bornée. = La série entière 1 z Par passage à la limite quand et 1 n n | {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} R Alors, si Sdésigne la somme de la série entière, pour tout n2N, on a a n= 1 2ˇrn R 2ˇ 0 S(rei )e in d . I - Suites de fonctions 1) Convergence simple d’une suite de fonctions Définition 1. R ≥ ] Les séries entières sont le point de départ de la théorie des fonctions analytiques de variables complexes et réelles. . n n n {\displaystyle R} ) ℓ ( n Alors N n z 0 + . n On appelle rayon de convergence de la série entière : R = sup{ ρ ∈ n+, (a n.ρ) bornée}. R II. | n {\displaystyle \left[0,1\right]} gb. R MathsenLigne Sériesentières UJFGrenoble Théorème 1. 1 j ˘ˇ > & ˚ ˛! , ) R Ainsi, les opérateurs P et D vérifient : a {\displaystyle R_{0}=\min(R_{a},R_{b})} 1 De plus la convergence est uniforme, sur tout disque fermé inclus dans le disque de convergence. et ) . Chapitre 1 Séries numériques Introduction Soit (un) une suite numérique, c’est-à-dire de nombres réels ou complexes.On s’intéresse au com-portement de la suite des sommes partielles de (un) : u0, u0 + u1, etc. n 1 {\displaystyle R={\frac {1}{\ell }}} Étude des séries à termes complexes \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\) sur le cercle unité. ∑ R I En utilisant la convergence uniforme sur le rayon [0;z 0] d'une série entière telle que P a nzn 0 converge, [DANTZER 311 et 316] prouve les égalités suivantes : X+1 n=1 ( n1) n = log2 ; X+1 n=0 ( 1)n 2n+ 1 = ˇ 4 I En calculant les coe cients de ourierF d'une fonction créneau impaire 2ˇ …

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