4 Développement d'une fonction en Série Entière, Sommation de Séries Entières. La somme d’une série entière est toujours définie en 0 et il arrive que cette somme ne soit définie qu’en 0. (1) En remarquant que f′ = 1 + f2, montrer qu'il existe une suite (Pn) de polynômes à coe cients dans N telle que f(n) = Pn f pour tout n 2 N. 2) Etudier les propriétés de la fonction somme d'une série entière. Leçon suivante. Il s’agit de l’élément actuellement sélectionné. Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. Ainsi, la valeur d’une série entière en 0 est son « coefficient constant ». ... Exercices : Développement d'une fonction en série entière. On en déduit en particulier l'expression du développement de en fonction des dérivées successives, évaluées en : vous connaissez déjà le polynôme de Taylor. Par exemple, le nombre de façons de décomposer \(237\) comme somme de cinq entiers positifs correspond au coefficient de \(x^{237}\) dans le développement en série entière de la fonction \(\displaystyle\frac{x^5}{(1-x)^5}\text{. en série entière autour de zéro. }\) I. Etude de la convergence Dans ce paragraphe, la variable x sera complexe. 1) Etudier le domaine de convergence d'une série entière. Exercice 13 On se propose d'obtenir le développement en série entière de la fonction tangente. Pour démontrer qu’une fonction est de classe au voisinage de , il suffit de prouver que est la somme d’une série entière sur . C’est utilisable en particulier pour , , , Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction . 3) Est-il possible d'obtenir les fonctions "usuelles" comme sommes de séries entières ? Les deux problèmes sont complémentaires, il s'agit pour unr fonction donnée de trouver une série entière égale à cette fonction sur un intervalle à préciser, ou bien il s'agit pour une série entière de trouver une fonction usuelle à laquelle est est égale sur un intervalle à préciser. Ainsi, la série entière associée ci-dessus est la série nulle, donc de rayon + ∞ >, mais ne coïncide pas avec sur une boule ouverte centrée en 0. 3 DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE 123 4 SOMME DE SÉRIES NUMÉRIQUES 155 5 CALCUL DE SUITES 179 ... Si la fonction f est de classe Cn+1 sur ... qui est le terme général d’une série positive divergente (série de Bertrand). Si x = 1, anx n = (−1)n lnn Reconnaitre . Pour x 2] ˇ=2;ˇ=2[, on pose f(x) = tgx. 1. P9. Par exemple la fonction plateau : → {− / ≠ = admet des dérivées successives toutes nulles en 0 ! Développement en série entière d'une fonction. Soit une série entière dont le rayon de convergence est strictement positif. C’est par exemple le cas de la série entière associée à la Déterminer le développement en série entière de sur ] [. Re : développement en série entière d'une fonction C infini Toutes les dérivées successives de ces deux fonctions sont nulles en 0. Développement d'une fonction en série entière. Déterminer solution de l’équation différentielle ( ) 2. dans certains cas, si on sait que la fonction est développable en série entière, on peut trouver son développement en utilisant sa série de Taylor. En appliquant de manière itérée le théorème 4 aux dérivées successives de , on peut donc calculer leurs développements en série entière. Cette condition est largement insuffisante pour assurer l’existence d'un développement en série entière. Allez à : Correction exercice 8 Exercice 9. Correction On réalise le produit de Cauchy des deux séries : et Unicité des coefficients du développement en série entière : s’il existe tel que pour tout de , . Écrire une série avec la notation sigma. Déterminer la formule explicite d'une série. Déterminer la somme d'une série entière Pour exprimer la somme d'une série entière à l'aide des fonctions classiques, on se ramène toujours aux développements en série entière usuels. 3.

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