Plus en détails pour chacun des cas : Soit — On désigne par f l'application linéaire de E vers E tq pour tout vecteur x de E: f(x)=x-2(x1+x2+x3)v où (x1, x2, x3) sont les coordonnées de x dans la base B. Je dois écrire la matrice A de f dans la base B. Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. On pose : Ici B1 et B’1 sont des bases de E, B2 et B’2 sont des bases de F. Application linéaire associée à une matrice. Si on note Abl’application linéaire canoniquement associée à A et Bp et Bn les bases canoniques respectives de Kp et Kn, alors : A=Mat Bp,Bn bA. Il est donc déterminé de façon unique par ses coordonnées dans la base de e’3 = -3e1 + 6e2 + 5e3. e’1 = 7e1 + e2 – 4e3 En effet je ne sais pas comment déterminer la matrice associée d'une application linéaire (cette notion a été très rapidement abordée en cours). une application linéaire de et Application : loi de réciprocité quadratique. 4. Elle sera utilisée dans toute cette ressource. . On aura donc les formules : Décomposition polaire [CG, G] 5. L'application de L(E, F) dans M m,n (K) qui à chaque φ associe sa matrice dans (B, C) est un isomorphisme d'espaces vectoriels. ) signifie que l'on considère l'espace vectoriel ; - le premier qui, pour un même L1 Algèbre linéaireDans cette vidéo on se donne une application linéaire et on explique comment fabriquer sa matrice. — colonnes de terme général est entièrement déterminée par les de la base de deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps -ième colonne est constituée par les coordonnées dans la base e1 = 1e1 + 0e2 + 0e3 De même pour P x P -1. Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée . — Théorème (Matrice dans les bases canoniques de l’application linéaire canoniquement associée à une matrice) Soit A ∈Mn,p(K). ). Calculer ( ) pour ∈ la dimension de . Ce cours est simplifié au maximum pour que tu puisses comprendre et réaliser les exercices. Supposons que l’on ait 3 bases B1, B2 et B3, ainsi que P1 matrice de passage de B1 dans B2, et P2 matrice de passage de B2 dans B3 : Si je fais P1 x P2, j’obtiens la matrice de passage… de B1 dans B3 ! f(e3) = 7e’1 – 2e’2. . f(e1) = 3e’1 + 4e’2 Nous verrons que pour les matrices de passage l’ordre est inversé… Exercice 1. Une matrice de passage P est toujours inversible et si P est la matrice de passage de B dans B’, alors P -1 est la matrice de passage de B’ dans B. Soient Les matrices de passage Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases. et Par exemple l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est égale à est bien tel que et n'est pas égal à l'identité. une matrice de M 2(R) et soit f : M(R) !M(R) l’application d e nie par f(M) = AM MApour toute matrice M 2M 2(R). lignes et Soit une application linéaire de vers . On peut transformer la matrice d’une application linéaire en une autre matrice de la même application linéaire mais dans une autre base. Si tu as un cours sur la matrice d'un endomorphisme dans une base, tu peux y lire que ses colonnes sont les coordonnées (*) des images des vecteurs de la base. On considère l'espace vectoriel P3 des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et la base B = (1 ; x; x2; x3). Soit la dimension de et une base de . Voyons tout d’abord la formule de la multiplication de matrices sous forme générale (on a vu ci-dessus ce que cela donnait avec la matrice identité) : Comme tu le vois, au niveau des bases c’est comme précédemment avec le pseudo-principe de Chasles. Par ailleurs, comme B et B’ sont des bases d’un même espace, elles ont même dimension, donc P est nécessairement une matrice carrée de taille n, avec n la dimension de l’espace considéré. la dimension de conformément à la définition précédente. Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. Sous-groupes compacts de GLn(R) [Al] Feuilles de Travaux Dirigés Feuille n°1 : Le groupe linéaire Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les matrices. Représentation d’une application linéaire. Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. et et Cela va donner une autre matrice de passage d’une base à une autre. En effet, une application est entièrement définie si on connaît l’image de tous les vecteurs de l’espace de départ. En effet : par rapport aux bases. et pour chacun d'eux, il y a Posons E 11 = 1 0 0 0 ;E 12 = 0 1 ;E 21 = 0 0 0 1 ;E 22 = 0 0 0 1 . Bonjour à toutes et à tous, Je suis bloqué dans un exercice d'applications linéaires. soit f une application linéaire de E dans F (E et F sont des espaces vectoriels). coefficients (il y a muni de la base Application linéaire associée à une matrice. Prenons par exemple un espace de dimension, et posons : Exemple : supposons que l’ont ait : Tout d’abord, de par sa définition, P correspond à la matrice de l’application identité (Id) de la base B’ dans la base B. + y p u ′ p F , on note X ℬ = [ x j ] 1 ≤ j ≤ n et Y ℬ ′ = [ y i ] 1 ≤ i ≤ p les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs x … et s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base Dé nition7 Application linéaire canoniquement associée à une matrice Soit A2M n;p(R) une matrice de nlignes et pcolonnes. cette application est linéaire et définie de ℝ2 vers ℝ2. Déterminer si les applications suivantes (de Ei dans Fi ) sont linéaires. Re : Matrice associée à un application linéaire (dérivation d'un polynôme) Bonjour. Représentation d’une application linéaire. -ème colonne de la matrice associée à par rapport aux bases Pour calculer X’, il me faut la matrice de passage de B’ vers B : MatB,B’(Id) : Tout cela sera évidemment beaucoup plus simple quand tu auras fait les exercices. . est un entier compris entre coefficients et si Notons B l’ancienne base et B’ la nouvelle base. , indique que a_{i,j} est la coordonnée de On peutmême«écraser»lerepère.Parexemple,lamatrice A= 1 0 0 0 est associée à l’application linéaire p: (x;y) 7! Savoir calculer avec des matrices : somme, produit, déterminant. f(X3) = 2 x 3X2 – X3 = 6X2 – X3. Alors il existe une unique application linéaire fqui av de Rp dans Rn qui est représentée par la matrice A dans les bases canoniques de Rn et Rp. ngest une famille g en eratrice (ou une base) de E. Pour d e nir une application lin eaire sur E, il su t donc de d e nir les images des vecteurs d’une base de E. D e nition 5 { Soient Eet F deux espaces vectoriels de dimension nie et f2L(E;F). Retour au sommaire des coursRemonter en haut de la page. En revanche, on peut très bien comprendre le principe avec un schéma : Et là en retrouve un vrai principe de Chasles ! Ainsi, la matrice de f dans la base B est : Une matrice de passage, souvent notée P (comme Passage), est une matrice qui détermine comment passer d’une base d’un espace à une autre base du même espace. dépend uniquement de la dimension de Exercice 2. Si f est une application linéaire de E vers F et α un scalaire, notons αf l'application de E vers F qui, à tout v de E associe α.f(v).On définit ainsi une loi de composition externe dans l'ensemble, noté L(E,F), des applications linéaires de E vers F. Muni, de cette loi et de l'addition des applications, L(E,F) est un espace vectoriel sur K. Attention ! La matrice A, relativement aux bases B et B’, est notée MatB, B’(f). Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases Soient et deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps . Calculs avec les matrices de passage 1. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 2 On dit que u ∈L(K2,K3) est l’application linéaire canoniquement associée à la matrice A. et une base de Ensuite, pour la matrice B, c'est facile, tu changes de base (avec une matrice de passage par exemple. (mais bien sûr mathématiquement ce n’est pas correct de dire ça, c’est juste pour comprendre^^). de Voyons un exemple d’application concret. est un entier compris entre Classification [CG] Sur les complexes, les réels et les corps finis. Le type de la matrice associée à l'application linéaire Noyau et image de f. Problèmes. 62 CHAPITRE 3 3M renf – Jt 2020 3.2 Matrice associée à une application linéaire Exemple dans IR 2: 5 cos e 1 12 Commençons par un exemple important.On considère le vecteur Pour bien comprendre, il faut que tu aies lu le chapitre sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, sinon tu risques de ne pas comprendre le vocabulaire employé. ATTENTION !! La matrice A, relativement aux bases B et B’, notée MatB, B’(f) est : Comme tu le vois, chaque colonne correspond aux coordonnées de f(e1), f(e2) et f(e3), c’est-à-dire les images des vecteurs de la base de l’espace de départ. La notation ( par rapport aux bases par rapport aux bases Soit Matrice associée à une application linéaire. f(e2) = -8e’1 + 5e’2 —, Mais attention !!! Propriétés. Dans ce chapitre nous allons parler du lien entre matrices et applications linéaires. —. B = P-1AP Montrer que : (est injective si et seulement si ker )={0 }. et un nombre de colonnes égal à la dimension de l'espace de départ de —. ou dans les bases . e3 = 01 + 0e2 + 1e3 Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée, Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : . choisie, ce que l'on peut expliciter de la manière suivante : si . En effet, comme Id(e’i) = e’i pour tout i, on peut faire le parallèle avec ce que l’on a vu sur les applications linéaires en début de chapitre : P est est donc bien la matrice de l’application identité en partant de la base B’ pour arriver dans la base B : — + x n u n E et y = y 1 u ′ 1 + . scalaires une base de Calcul matriciel : matrice et espaces vectoriels. Remarque : si l’espace vectoriel de départ est le même que l’espace d’arrivée (et donc même base de départ et d’arrivée), on pourra écrire MatB(f) à la place de MatB, B(f). , il y a unicité de la matrice associée à Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. Il est donc tout à fait naturel d'introduire la matrice à et Cela signifie que si et . Contrairement aux matrices des applications linéaires vues plus hauts, l’ordre dans la notation est inversé : P est la matrice de passage de B dans B’ MAIS elle est notée MatB’,B(Id)… On prend la base canonique de E : (1, X, X2, X3), et on définit l’application f par : Pour trouver la matrice de f dans la base B, il faut calculer l’image de chaque vecteur de la base : f(1), f(X), f(X2) et f(X3) : B = (e1, e2, e3) et B’ = (e’1, e’2, e’3). Vérifions en calculant Q-1AP que l’on va simplifier avec le principe vu précédemment : Si on multiplie cette égalité par Q à gauche et P-1 à droite, on obtient : Ainsi on a pu transformer la matrice A de l’application f exprimée dans une base, à une autre matrice B de la même application mais exprimée dans une autre base, uniquement en multipliant par des matrices de passage ! Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases. On peut aussi multiplier les matrices de passage. f(X2) = 2 x 2X – X2 = 4X – X2 , il existe s'écrit : la Coordonnées de l’image d’un vecteur. est déterminée de façon unique par l'image d'une base de Mais si on veut la matrice de passage de B’ dans B… on fait tout simplement P -1 ! Remarque : la plupart du temps, on aura B1 = B2 et B’1 = B’2, ce qui donnera P = Q ! Donc cette application est la réciproque de .. Un automorphisme de est une application linéaire qui envoie une base de sur une autre base. Soit : → une application linéaire et un réel. L'application qui associe à chaque fonction polynôme sa fonction dérivée est un endomorphisme de P3. . Exercices. A = PBP-1 la matrice à 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A Théorème 1 : Soit A ∈Mn,p(K). Enfin, pour terminer la partie sur les matrices de passage, mentionnons le fait que l’on puisse, grâce aux matrices de passage, exprimer les coordonnées d’un vecteur dans une autre base. Tu sais que car h est linéaire Donne-moi une matrice A qui marche pour voir si tu as compris. et Comme f Id = f et Id f = f, on aura par la suite ce genre de formule : Après ce petit prélude, rentrons désormais dans le vif du sujet ! - si Vocabulaire : on dit aussi que c'est la matrice de Applications linéaires. Ce n’est pas n’importe quelle matrice de passage, et il faut bien appliquer le pseudo-principe de Chasles vu précédemment pour savoir si on multiplie par P ou P-1, à gauche ou à droite etc…. L'étude des propriétés des applications linéaires entre deux espaces de type fini permet d'affirmer que : - l'application linéaire . . Mat(f) x Mat(g) → Mat(f g) et non Mat(g f). Supposons que l’on ait une application linéaire f de E dans F. Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : Donc, l'application linéaire Ce pseudo principe de Chasles s’effectue avec la notation car, comme vu précédemment, les bases ne sont pas dans le même ordre selon que l’on parle de la notation ou du principe du passage d’une base à une autre. colonnes dont la La matrice de passage possède quelques particularités que tu dois connaître. . Entraîne-toi sur plusieurs exemples c’est la meilleure solution pour ne pas te tromper le jour J ! Ce qui est cohérent avec le fait que P x P-1 = Id (heureusement !). . et On appelle matrice associée à l'application linéaire Dans un tel cas, on dit que les matrice A et B sont équivalentes car elles représentent la même application linéaire mais dans des bases différentes. vecteurs b) Ecrire la matrice de fdans la base canonique B 1 = (E 11;E 12;E 21;E 22) de M 2(R). Des bases étant choisies respectivement dans Exercice : Matrice associée à une application linéaire Notation matricielle et systèmes linéaires Pour tous x = x 1 u 1 + .

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