Soit n > 1. 4 0 obj /Resources 27 0 R /Filter /FlateDecode a) un = 3n +n4 5n −3n, b) un = ch(2n) ch(3n), c) un = 1 2 + 1 2n n d) un =th(n+a)−thn (a ∈ R) , e) un =(3+(−1)n)−n, f) un = 1 1+x2n (x ∈ R) 3. Montrons que ∀N ∈ N∗, +X∞ n=1 ln 1 − 1 pn −1! /BBox [0 0 100 100] endobj /Type /XObject La série est alors convergente. • Si Ra =+∞, alors pour tout z ∈ C, la série de terme général anzn, n ∈ N, converge absolument et en particulier, x���r���_�. - 3 - Définition 1.3 : série télescopique Une série réelle ou complexe ∑un est dite télescopique lorsque son terme général peut se mettre sous la forme : ∀ n ∈ , u n = a n+1 – a n, où (a n) est une suite de réels ou de complexes. Elle converge sans converger absolument. >> >> La moyenne géométrique est un autre type de moyenne, mais au lieu d'additionner vos nombres et de les diviser par l'effectif de la série, comme c'est le cas pour une moyenne arithmétique, il faut ici les multiplier avant de calculer une racine du résultat. >> géométrique 10 ,10.33 ,15.63 ,…. � Une série géométrique de premier terme ∈ et de raison ∈ est la série de terme général . suite, suite numérique, suite arithmétique, suite géométrique, sens de variation d'une suite, exercices de mathématiques, maths, première, 1ère, S Voir aussi: Cours associé: suites numériques Page de 1ère S: tout le programme et les cours Devoirs de 1ère S sur les suites Source Afficher la source LaTeX << Plus de 6000 vidéos et des dizaines de milliers d'exercices interactifs sont disponibles du niveau primaire au niveau universitaire. Cette série est une série divergente, car son terme général est équivalent à 1 n qui est positif, et terme général d'une série divergente. Mots-clés : suite, série, convergence, série géométrique. /Length 15 /Type /XObject endstream /Filter /FlateDecode Cours Liaison Chimique S2 SMPC En PDF Examens Chimie En Solution SMPC S2 Avec Corrigés (.PDF) Examens Corrigés Optique Géométrique S2 SMPC / SMIA Cours Analyse 2 S2 SMPC / PDF / Détaillé Chimie En Solution - Examens Corrigés - SMPC / S2 Cours Eléctricité 1 S2 SMPC SMIA En PDF Résumés Optique Géométrique S2 SMPC / SMIA / PDF Utiliser les fonctionnalités de TI … /Length 3324 Représenter une fonction par une série géométrique (sur l'intervalle de convergence) (Ouvre un modal) Le développement en série entière de ln(1+x³) (Ouvre un modal) S'entraîner . /Subtype /Form 20 0 obj endobj Une condition nécessaire et suffisante de convergence est, si a est non nul, que la raison q soit un complexe de module strictement inférieur à 1. 7 0 obj x���P(�� �� h��Xmo�8�+������K�T�j�+!>��9AIVj���؁����m�,���y�L1�� K�҄IJ�Q�3"(���� Bc/���+� �^���>C�e�DŽq.� �����´b�k�'. La suite géométrique (u n) définie par u n =−4×2n est décroissante car le premier terme est négatif et la raison est supérieure à 1. /Length 15 Il reste donc à étudier la nature de la série de terme général ln 1 − 1 pn −1!. /FormType 1 On note U n le capital obtenu au bout de n années. /FormType 1 Définition : La natured'une série est le fait qu'elle … /Matrix [1 0 0 1 0 0] %PDF-1.5 %���� On s'intéresse particulièrement à la somme qui est nommée: Série géométrique. h�bbd```b``a�! stream �+ � Est-il convergent ? /BBox [0 0 100 100] x���P(�� �� /Filter /FlateDecode /BBox [0 0 100 100] /Filter /FlateDecode le rayon de convergence de la série somme ou de la série produit soient strictement supérieurs à min{R a,R b}. /Resources 10 0 R On repère par une lettre minuscule, la position de l’arbre par rapport à la x�+T0�3��0U(2��,-,,�r��,,L�t�–�fF /Length 15 ( )]est le terme général d’une série géométrique de raison dans [, la série converge. stream Soit (an)n∈N ∈ C N. • Si Ra =0, alors pour tout z ∈ C∗, la suite (anzn) n∈N n’est pas bornée et en particulier, la série de terme général anzn, n ∈ N, diverge grossièrement. Définition : Dans le cas où la série de terme général converge, la limite, notée , de la suite est appelée somme de la série et on note : . /Type /Pattern /PatternType 1 /PaintType 2 /TilingType 1 /BBox [-0.99628 -0.99628 3.9851 3.9851] /XStep 2.98883 /YStep 2.98883 /Resources << >> Notation : La série de terme général se note . /Type /XObject 106 0 obj <> endobj /BBox [0 0 100 100] %%EOF 23 0 obj /Matrix [1 0 0 1 0 0] 2. 1 , r , r 2 , r 3 , r 4 , ⋯ {\displaystyle 1,r,r^{2},r^{3},r^{4},\cdots } Cette suite n'est autre que la suite définie par la relation de récurrence suivante : 1. u 0 = 1 {\displaystyle u_{0}=1} 2. u n = r n = u n − 1 × r {\displaystyle u_{n}=r^{n}=u_{n-1}\times r} On voit qu'il s'agit d'un cas particulier de suite géométrique, où le premier terme est égal à 1… endstream Remarque : Si la raison q est négative alors la suite géométrique n'est pas monotone. 159 0 obj <>stream endstream SÉRIES 1. DÉFINITIONS – SÉRIE GÉOMÉTRIQUE 2 Si la suite (Sn)n>0 admet une limite finie dans R (ou dans C), on noteS = +X1 k=0 uk = lim n!+1 Sn. /FormType 1 /BBox [0 0 100 100] 26 0 obj /FormType 1 << qui est le terme général d’une série positive divergente (série de Bertrand). Il existe r∈ Rtel que 1 1, la série … h�b```f``�b`e`�ndd@ A��&��UO�}�bz&�F�D�Z3c�_��z"�ٶ�-���Y��{?�ٲ�^_����g��������6勓"'m?�g�k�"X���������Il���A�|�7Y�q��my�ż�̗�X�I�\ ��g5�����z��W�#�ƛ��s��/���X����⋠�E����!�/�I��h�鹼r��Km /Type /XObject stream d’où Exercice 3 Soit et les suites définies sur par et a) Démontrer que la suite de terme général est une suite géométrique . (a)Sur une figure à l’échelle, placer les foyers F et F’. endstream endobj >> 2) On suppose que c>1. Théorème 1.4 : convergence d’une série télescopique Lasérie P zn apourrayondeconvergence 1,lepolynôme1 −zestunesérieentière valeurs : série géométrique partant de 101 et de raison 10(1/10) pour les R10 et Ra10, 10(1/20) pour les R20 et Ra20 ... 56 85 5.2.2 Position. /Subtype /Form << EXEMPLE 2 : Considérons la série ∑ 1 nα, dite série de Riemann. OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Série 3 : Correction Exercice 1 1.Un dioptre sphérique de rayon de courbure r égal à + 2 cm, sépare deux milieux d’indices n= 3 2 et n 0=1. une série géométrique). Série entière (rappels) • Définition On appelle série entière de la variable x toute somme (finie ou infinie) des éléments d’une suite numérique de terme général u k = a kxk où a k est un réel et k un entier naturel. /Length 15 /Matrix [1 0 0 1 0 0] /BBox [0 0 100 100] << /Type /XObject x���P(�� �� %���� stream %PDF-1.5 est le terme général d’une série géométrique convergente car ] [donc la série de fonction de terme général converge normalement. stream /Filter /FlateDecode 11 0 obj 197 0 obj /FormType 1 Chapitre 02 : Séries numériques – Cours complet. � >> endstream endstream 9 0 obj On appelle alors S = P +1 k=0 u kla somme de la série P >0 uk, et on dit que la série est convergente.Sinon, on dit qu’elle est divergente. 1. Cours et exercices corrigés CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUE et RADIOCRISTALLOGRAPHIE 3 e édition Licence 3 @BULLET Master @BULLET Écoles d'ingénieurs Modéliser avec la somme des termes d'une suite géométrique - exemple 1 Notre mission : apporter un enseignement gratuit et de qualité à tout le monde, partout. /FormType 1 /Length 15 9 Les suites arithmétiques sont des suites où les termes augmentent d'un pas régulier : : on compte de 2 en 2, de 3 en 3, de 1.6 en 1.6, de 39 en 39, etc. 195 0 obj stream a) Donner la nature de … endstream endobj 107 0 obj <> endobj 108 0 obj <> endobj 109 0 obj <>stream ( ) >ln XN k=1 1 k!. stream << 17 0 obj Les suites arithmétiques [modifier | modifier le wikicode]. Sinon, on dit qu'elle diverge. /Subtype /Form PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE . 4 questions. (3.d) Si < 1, alors ∫ 1 n f (t)dt = ∫1 n 1 t(lnt) dt = lim A!1 [(lnt) 1 ]A = 1: La série est alors divergente. » sont dans la série et que donc la série diverge. endobj ou. est une suite géométrique de raison 3 et Calculer . Allez à : Exercice 4 Correction exercice 5. Notations. /Resources 5 0 R /Resources 24 0 R qn est appelée série géométrique de raison q. Les séries de terme général nqn−1 et n(n − 1)qn−2 sont appelées respectivement séries géométriques dérivée et dérivée seconde de raison q. Remarque 6 . x���P(�� �� [( )]est le terme général d’une série géométrique de raison dans , la série converge. ] << (a) Justifier qu’il existe un entier ptel que k √ u k >rpour tout k>p. Nombres successifs tels que ch a cun est ég a l. a u précédent multiplié p a r une v a leur fixe, appelé raison. /Filter /FlateDecode 137 0 obj <>/Filter/FlateDecode/ID[<4704FAC8C3DE2F3D05079E8253BD180A><23CA268D503FE44B986470E145EC17BD>]/Index[106 54]/Info 105 0 R/Length 133/Prev 265100/Root 107 0 R/Size 160/Type/XRef/W[1 3 1]>>stream @� (� iV�\‡p�,���*p����5�BJ�(|A�t�:끴,�C/������\"&4�3u��p7��10I��f`:��A9x���� !f�680Hy7���cL>-!������p6ن��������a`����D�3�pdC��J 3Z�R SUITE GÉOMÉTRIQUE. (b)Calculer la vergence du dioptre. S'entraîner . stream L’exemple que nous venons de présenter décrivait une suite géométrique croissante. Alors 1 pn < 1 et la série de terme général 1 pk n, k ∈ N, est une série géométrique convergente de somme : X+∞ k=0 1 pk n = 1 − 1 p −1. x���P(�� �� << (b) En déduire qu’à partir du rang p, la série de terme u k est minorée par une série géométrique de raison r. endobj Définition : Soit une suite d'éléments de . Le reste d'ordre de la série est alors noté et il vaut : . /Subtype /Form /Subtype /Form /Matrix [1 0 0 1 0 0] n) est une suite géométrique dont on donnera la raison. /Filter /FlateDecode Sur tout intervalle où elle est convergente, une série entière a pour somme une fonction. /Subtype /Form /BBox [0 0 100 100] endobj x���P(�� �� 0 << /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Length 15 Par exemple, les deux séries P (1 + 2n)zn et P (1 −2n)zn ontpourrayondeconvergence 1 2.Leursomme P 2zn apourrayondeconvergence1. >> Comme premier exemple de série géométrique, nous allons prendre le cas de la suite des puissances d'un nombre (compris entre 0 et 1), à savoir la suite suivante : 1. /Matrix [1 0 0 1 0 0] stream /Resources 12 0 R Or, la suite 16 ,8 ,4 ,2 ,1 ,1/2 ,… = est une suite géométrique décroissante de raison ½. Une suite géométrique est : croissante si et seulement si P 1 /Type /XObject endstream << >> /Filter /FlateDecode /Filter /FlateDecode /Resources 18 0 R Si , ( ) , la série nulle converge. La série géométrique P 1 10n converge,car 1 10 <1.Lasérie P 9 10n convergeaussiparlinéarité,d’oùlerésultat. Objectifs Introduire la notion de série numérique avec l’exemple de la série géométrique. Nous disposons du résultat suivant : Les séries ( ∑ 1 nα) convergent si et … endobj 3) Calculs de rayons Théorème 2 (caractérisation du rayon de convergence). par une série géométrique de raison r. (c) En conclure que la série de terme u k converge. RÉSUMÉ (u n) une suite géométrique - de raison q - de premier terme u 0. endobj Exercice 7 : On place un capital U 0 =1500 euros à 4,5 % par an avec intérêts simples. stream endstream La série pour l'espérance est (à un facteur près) une série geométrique dérivée, elle est donc convergente, et E(X) = +X∞ k=1 pk(1 − p)k−1 = p × 1 (1−(1−p))2 = p p2 = 1 p. On a donc E(X)2 = 1 p2. >> >> >> Si x = 1, anx n = (−1)n lnn est le terme général d’une série alternée, car la suite (1/lnn) décroît et converge vers 0. Si jqj 1, la série est grossièrement divergente. De plus, X(X − 1) admet une espérance (on a une série de type géométrique … Reconnaître une série géométrique et connaître la condition de convergence. Solution de l'exercice 3 La première série est une série géométrique de raison q 1. Dit autrement, la différence entre un terme et le suivant est une constante et chaque terme s’obtient en additionnant une constante au terme précédent. /Matrix [1 0 0 1 0 0] endstream endobj startxref endobj �q?�du�����d��w�H�20y,2��&��E�@$W+�"MW���`[�@��[ � �� V�����*5��&Cܠvm���s�� ���`��@�g`Z� � rp� /Length 53 /Resources 8 0 R x���P(�� �� /Length 15 Définition : On dit que la série de terme général , converge la suite des sommes partielles converge. Donc A =]−1, 1[ et C =]−1, 1] . /FormType 1 /Filter /FlateDecode /Subtype /Form /BBox [0 0 100 100] /Type /XObject /Type /XObject est donc la suite géométrique des puissances de 2 de premier terme . /Resources 21 0 R << b) Calculer la production de l’usine en 2005. On repère par une lettre Majuscule, la position de l’alésage par rapport à la dimension nominale. endstream /FormType 1 /Length 15 On appelle suite des sommes partielles de , la suite , avec . On peut naturellement dé nir des séries géométriques dérivées k-ièmes pour des aleursv

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