Partout où c'est possible, on mentionne des choses élémentaires hors programme : formule de Laplace sur det(A+B),matrices de Kac, de Hua ou d'Ho mann, angles d'Euler, l'exponentielle d'un endomorphisme et sa dif- 3.1. Nous pouvons permuter les lignes. Page 8 sur 9 11‐ Déterminants de matrices carrées de dimensions 4x4 et plus Les méthodes présentées dans le cas des matrices 33 demeurent valides pour toutes les dimensions supérieures. Opérations sur les matrices. 2. Les opérations mathématiques sur les matrices font l'objet de l'algèbre linéaire. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 2 II. D´efinition 2 On fixe net pdes entiers >0. 1.3. Les matrices ´el´ementaires de type (n,p) sont les matrices COURS SUR L'ALGÈBRE LINÉAIRE. qui s’appliquent aux matrices carrées de toute taille et donc aussi aux matrices 3 3. La matrice colonne 1 0 −1789 sera dite (dans quelques paragraphes) associ´ee au vecteur upr´ec´edent dans la base canonique de R3. La somme de A et B est la matrice, notée A + B, dont les coefficients sont obtenus en additionnant deux à deux des coefficients qui ont la même position dans A et B. Exemple : Définition 4 Soit A et B deux matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes, c’est à dire la même dimension, on dit que A = B si tous les éléments de A sont égaux aux éléments correspondantsdeB. •On d´efinit de mˆeme les matrices-colonnes (p= 1). 1. Transformations linéaires. Systèmes linéaires. Le symbole de multiplication, * , désigne la multiplication matricielle, c’est-àdire les produits entre les lignes de la première matrice et les colonnes de la deuxième. 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES 9 3° Le groupe On(R) des matrices M de taille n £n réelles orthogonales (c’est-à-dire qui satisfont t MM ˘In) est un sous-groupe du groupe GLn(R). (n,p) dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient ligne i, colonne j, qui est égal à 1. 3.2. ... sur les lignes des matrices qui nous seront fort utiles et ce, sans changer son rang : P1. - 2 - Définition 6.1 et théorème 6.1 : les espaces vectoriels de matrices Définition 6.2 : produit de matrices Théorème 6.2 : structure de groupe et d’algèbre pour Mn(K) Définition 6.3 : matrice transposée d’une matrice Définition 6.4 : … Géraldine Ménéxiadis Page 2/7 1. 3. Ne sautez jamais une ligne, tout est essentiel. Il s'agit à nouveau de suivre les étapes d'une expansion par cofacteurs : Pour les lignes : on utilisera icomme indice courant et npour le nombre de lignes 2. Exemple4 Ondonne:E= 2x+3 5 3 −2y−4! 4° Soit n un entier ˚ 2. D´efinition 2 : Op´erations sur les matrices Types de matrices. Matrices. Pour les colonnes : on utilisera jcomme indice courant et ppour le nombre de colonnes Un coefficient sera not´e aij, le premier indice ´etant l’indice de ligne et le second ´etant l’indice de colonne. Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Cours complet. On est constamment amené à les imiter dans les exercices et les applications. etF= −1 5 3 5! Pour (k,l)∈ J1,nK×J1,pK, le coefficient ligne k, colonne l de la matrice Ei,j, est donc égal à 1 si et seulement si k =i et l =j et est égal à 0 sinon. Le groupe diédral Dn des transformations orthogonales de R2 préservant les sommets d’un polygone régulier à n côtés centré à l’origine est un sous- Opérations sur les matrices 1) Somme de matrices Définition : Soit A et B deux matrices de même taille. Les matrices Ei,j sont les matrices élémentaires. Donnonsnous deuxvecteurs v1 = … Interprétation géométrique du déterminant On va voir qu’en dimension 2, les déterminants correspondent à des aires et en dimension 3 à des volumes.

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