Syntaxe. Remarque : Nous verrons dans la partie exercice comment trouver la bonne écriture exponentielle de ce nombre7/ Forme exponentielle : unicitéRappel : L'écriture trigonométrique d'un nombre complexe non nul est unique. L'exponentielle complexe D'un point de vue historique, les concepts familiers d'angle, cosi-nus, sinus, exponentielle, et même le nombre ˇqui est au départ de cette aventure, sont apparus de manière plus chaotique que ce que l'enseignement de collège et lycée peut laisser croire. Cercle trigonométrique et valeurs remarquables sur le cercle, Valeurs remarquables d'exponentielles complexes. Comme , la fonction exponentielle est strictement croissante. Soit z = x+iy ∈ D et z 7→f(z) ≡ f(x+iy) une fonction d´efinie pour z ∈ D. D´efinition 13 La fonction f est holomorphe dans D, si l’une des trois condi-tions suivantes (I, II ou III) est satisfaite I. Représente le coefficient réel du nombre complexe. Tout d’abord en physique, on la trouve dans la radioactivité, puisque la loi de décroissance radioactive est exponenentielle. Par analogie avec la fonction exponentielle, on écrit alors : e iθ = cos θ + i sin θ Soit z un nombre complexe non nul d'argument θ et de module r ( arg(z) = θ et | z | = r ), alors on appelle forme exponentielle de z : La fonction exponentielle complexe La fonction exponentielle x → ex est d’une grande importance en analyse r´eelle. Nous allons introduire ici diff´erentes g´en´eralisations de cette fonction au cas complexe et voir les analogies mais aussi les diff´erences, entre les exponentielles r´eelles et complexes. Si on appelle cette fonction exponentielle complexe il faut qu'elle soit un morphisme de groupe. 1/ Nombre complexe de module 1Résultat évident d’un point de vue géométrique car : Si l’intervalle sur lequel est pris  est d’une longueur inférieure à 2alors M ne décrit qu’un arc de cercle. La fonction exponentielle complexe s'exprime donc à l'aide de la fonction exponentielle réelle et des fonctions trigonométriques. Fonction complexe. Au point M d'affixe on associe le point M' d'affixe tel que : Partie A Image d'un triangle Déterminer A', B' et C'. Tous droits réservés. on fait apparaître l'angle moitié entre \(i\theta_1\) et \(i\theta_2\) soit \(i\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\), \(i\theta_1=i\frac{\theta_1+\theta_2+\theta_1-\theta_2}{2}\) et, \(i\theta_2=i\frac{\theta_1+\theta_2-\theta_1+\theta_2}{2}\), \(e^{i\theta_1}+e^{i\theta_2}=e^{i\frac{\theta_1+\theta_2+\theta_1-\theta_2}{2}}+e^{i\frac{\theta_1+\theta_2-\theta_1+\theta_2}{2}}\), \(e^{i\theta_1}+e^{i\theta_2}=e^{i\frac{\theta_1+\theta_2}{2}}\big(e^{i\frac{\theta_1-\theta_2}{2}}+e^{-i\frac{\theta_1-\theta_2}{2}}\big)\), \(e^{i\theta_1}+e^{i\theta_2}=e^{i\frac{\theta_1+\theta_2}{2}}2\cos{\frac{\theta_1-\theta_2}{2}}\). Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans C {\displaystyle \mathbb {C} } comme un logarithme dans R {\displaystyle \mathbb {R} } 5/ Propriétés algébriques de la notation exponentielle Produit de deux exponentielles: . Sa somme est l'exponentielle de z, … La démonstration est fondée sur les développements en série entière de la fonction exponentielle z ↦ e z de la variable complexe z et des fonctions sin et cos considérées à variables réelles. Cependant, attention toute écriture qui à l’air exponentielle n’en est pas forcément une ! La fonction f est d´erivable au sens complexe en tout point z0 de D. II. qui est appelée forme exponentielle de .. Remarque : . (cosα + isinα) Cette écriture s'appelle la forme trigonométrique. 2/ Notation exponentiellePour des raisons d'analogie avec la fonction exponenetielle, que nous verrons plus loin, on décide de noter : Se lit " exponentielle de i " ou encore plus simplement : " é - i - téta " . À l'aide des lois des exposants, on peut écrire sa règle en forme canonique. Observer A'B'C' Observer l'image du triangle ABC en faisant varier le point R, puis en affichant le lieu des points R'. Soit z et z' deux nombres complexes non nuls sous la forme exponentielle : z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} et z ′ = r ′ e i θ ′ {\displaystyle z'=r'e^{i\theta '}} avec r > 0 {\displaystyle r>0} et r ′ > 0 {\displaystyle r'>0} . et samedi de 10h à 14h. Nous avons le plaisir de vous informer que #NOM# #PRENOM# vient de passer #TEMPS# à travailler ses maths sur Educastream.com, leader des cours particuliers par visiconférence. Est-ce le triangle A'B'C' ? La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes, pour tous z et w : exp(z + w) = exp(z)exp(w) exp(0) = 1 Trace la fonction exponentielle suivante : y = 4 (0, 5) x + 2 y = 4 (0, 5) x + 2. La fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Donc Pour tous réels xet y, (ex

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