). — colonnes dont la Bonjour à toutes et à tous, Je suis bloqué dans un exercice d'applications linéaires. La notation ( la dimension de ou relativement aux bases — est un vecteur de 62 CHAPITRE 3 3M renf – Jt 2020 3.2 Matrice associée à une application linéaire Exemple dans IR 2: 5 cos e 1 12 Commençons par un exemple important.On considère le vecteur Exercice : Matrice associée à une application linéaire Notation matricielle et systèmes linéaires Pour tous x = x 1 u 1 + . Soit =ker( − ). Dans ce chapitre nous allons parler du lien entre matrices et applications linéaires. On peut transformer la matrice d’une application linéaire en une autre matrice de la même application linéaire mais dans une autre base. Soit la dimension de et une base de . Prenons par exemple un espace de dimension, et posons : , il existe Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. ATTENTION !! (mais bien sûr mathématiquement ce n’est pas correct de dire ça, c’est juste pour comprendre^^). On se place dans l’espace E = K3[X], l’ensemble des polynômes de degré inférieure ou égal à 3. Comme tu le vois, ce sont les deux bases aux extrémités qui doivent être égales, et le résultat donne les deux bases du centre mais inversées… ce sera plus clair dans les vidéos, — Elle sera utilisée dans toute cette ressource. — de la base de par rapport aux bases Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases. Entraîne-toi sur plusieurs exemples c’est la meilleure solution pour ne pas te tromper le jour J ! f(X) = 2 x 1 – X = 2 – X Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Exemple L’application f χ −→ Z 1 0 f t2 dt est linéaire de C [0,1],R dans R. Démonstration Les applications f −→f t −→t2 et f −→ Z 1 0 f (x)dx sont linéaires, donc χaussi par composition. Mat(f) x Mat(g) → Mat(f g) et non Mat(g f). Soit cette application est linéaire et définie de ℝ2 vers ℝ2. Une matrice de passage P est toujours inversible et si P est la matrice de passage de B dans B’, alors P -1 est la matrice de passage de B’ dans B. . Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases. Ce cours est simplifié au maximum pour que tu puisses comprendre et réaliser les exercices. Si on note ϕ l’application canoniquement associée à A et Bp et Bn, les bases cano-niques respectives de Kp et Kn, alors : A =MatB p,Bn(ϕ) Exemple : Soit ϕ l’application linéaire canoniquement associée à la matrice 1 0 1 1 −1 1 . Dans un tel cas, on dit que les matrice A et B sont équivalentes car elles représentent la même application linéaire mais dans des bases différentes. L1 Algèbre linéaireDans cette vidéo on se donne une application linéaire et on explique comment fabriquer sa matrice. et a) Montrer que fest une application lin eaire. On peut l’indentifier à l’application linéaire ˜u: M2,1(K) →M3,1(K) définie par ˜u(X) = AX. Ainsi, la matrice de f dans la base B est : Une matrice de passage, souvent notée P (comme Passage), est une matrice qui détermine comment passer d’une base d’un espace à une autre base du même espace. Cette matrice A définit entièrement l’application f. Ensuite, pour la matrice B, c'est facile, tu changes de base (avec une matrice de passage par exemple. , il y a unicité de la matrice associée à choisie, ce que l'on peut expliciter de la manière suivante : si C'est l' application linéaire canoniquement associée à A deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps (x;0) qui est la projection orthogonale Notes de cours S2 PeiP année 2014-2015 Michel Rumin Si ψ est une deuxième application linéaire de F dans un troisième espace vectoriel G de base D alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ∘φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. La matrice suffit donc à connaître l’application f. L’égalité y = f(x) peut se traduire sous forme matricielle par Y = AX, où Y est le vecteur colonne reprenant les coordonnées de y dans la base B’, X est le vecteur colonne des coordonnées de x dans la base B, et A la matrice de f relativement aux bases B et B’. une base de e’3 = -3e1 + 6e2 + 5e3. . par rapport aux bases. Par exemple l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est égale à est bien tel que et n'est pas égal à l'identité. Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases Soient et deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps . Re : Matrice associée à un application linéaire (dérivation d'un polynôme) Bonjour. En effet cette matrice a un nombre de lignes égal à la dimension de l'espace d'arrivée de En effet : Cela va donner une autre matrice de passage d’une base à une autre. est un entier compris entre Il est donc tout à fait naturel d'introduire la matrice à scalaires + x n u n E et y = y 1 u ′ 1 + . Soient B=(e1,e2, e3) une base de E et v le vecteur de E tq v=e1-e2+e3. On appelle matrice associée à l'application linéaire f(X2) = 2 x 2X – X2 = 4X – X2 Tu sais que car h est linéaire Donne-moi une matrice A qui marche pour voir si tu as compris. L’application correspondant à la multiplication des 2 matrices sera la composée des autres applications mais en gardant le même ordre !! Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée, Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : et s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base Propriétés. Applications linéaires. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. Vérifions que c’est bien le cas dans l’exemple précédent. dans et Application linéaire associée à une matrice. B = (e1, e2, e3) et B’ = (e’1, e’2, e’3). Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ? Remarque : si l’espace vectoriel de départ est le même que l’espace d’arrivée (et donc même base de départ et d’arrivée), on pourra écrire MatB(f) à la place de MatB, B(f). f(e3) = 7e’1 – 2e’2. L'application qui associe à chaque fonction polynôme sa fonction dérivée est un endomorphisme de P3. Exemple : supposons que l’ont ait : 3. Montrer que (x0,f(x0),f2(x0)) est une base de E. (Q 3) Quelle est la matrice de fdans cette base? Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. et 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A Théorème 1 : Soit A ∈Mn,p(K). En effet, comme Id(e’i) = e’i pour tout i, on peut faire le parallèle avec ce que l’on a vu sur les applications linéaires en début de chapitre : P est est donc bien la matrice de l’application identité en partant de la base B’ pour arriver dans la base B : — —. On désigne par f l'application linéaire de E vers E tq pour tout vecteur x de E: f(x)=x-2(x1+x2+x3)v où (x1, x2, x3) sont les coordonnées de x dans la base B. Je dois écrire la matrice A de f dans la base B. Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les matrices. Elles sont reliés par l’égalité par l’égalité B = Q-1AP ⇔ A = QBP-1, avec P et Q matrices de passage. colonnes de terme général Attention ! muni de la base —, Mais attention !!! Alors il existe une unique application linéaire fqui av de Rp dans Rn qui est représentée par la matrice A dans les bases canoniques de Rn et Rp. la matrice à . . Soit X un vecteur colonne exprimé dans une base B. conformément à la définition précédente. Supposons que l’on ait une application linéaire f de E dans F. Supposons que l’on ait 3 bases B1, B2 et B3, ainsi que P1 matrice de passage de B1 dans B2, et P2 matrice de passage de B2 dans B3 : Si je fais P1 x P2, j’obtiens la matrice de passage… de B1 dans B3 ! —. ou dans les bases Coordonnées de l’image d’un vecteur. du vecteur e1 = 1e1 + 0e2 + 0e3 Voyons un exemple d’application concret. ngest une famille g en eratrice (ou une base) de E. Pour d e nir une application lin eaire sur E, il su t donc de d e nir les images des vecteurs d’une base de E. D e nition 5 { Soient Eet F deux espaces vectoriels de dimension nie et f2L(E;F). A = PBP-1 est entièrement déterminée par les Noyau et image de f. Problèmes. Pour savoir laquelle, le principe ressemble plus ou moins au principe de Chasles mais avec un piège ! . Classification [CG] Sur les complexes, les réels et les corps finis. — Noyau et image de f. Problèmes. Calcul matriciel : matrice et espaces vectoriels. TROUVER LA MATRICE ASSOCIÉE À UNE APPLICATION LINÉAIRE DONNÉE ... On conclut donc que est bien linéaire, omme l’image d’une om inaison linéaire est égale à la combinaison linéaire … Comme f Id = f et Id f = f, on aura par la suite ce genre de formule : Après ce petit prélude, rentrons désormais dans le vif du sujet ! Les matrices de passage Remarquons immédiatement qu'il est nécessaire de mettre deux indices pour identifier ces scalaires : - le deuxième indique qu'il s'agit des coefficients de la décomposition de Exercices. Exercice 11 : [corrigé] Déterminer une base du noyau, l’image de l’application linéaire canonique-ment associée à la matrice A= 4 8 2 4 ainsi que cette dernière application linéaire, et vérifier le théorème du rang. Allez à : Correction exercice 24 Exercice 25. Donc, l'application linéaire Exercice 2. Remarque : la plupart du temps, on aura B1 = B2 et B’1 = B’2, ce qui donnera P = Q ! e3 = 01 + 0e2 + 1e3 est déterminée de façon unique par l'image d'une base de Exercice 1. Donc cette application est la réciproque de .. Un automorphisme de est une application linéaire qui envoie une base de sur une autre base. Représentation d’une application linéaire. De la même manière que ce que l’on a vu ci-dessus, chaque colonne représentera les coordonnées d’un nouveau vecteur dans l’ancienne base : On complète ensuite par colonne par rapport à ce qui est donné dans l’énoncé. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 2 On dit que u ∈L(K2,K3) est l’application linéaire canoniquement associée à la matrice A. Pour calculer X’, il me faut la matrice de passage de B’ vers B : MatB,B’(Id) : Tout cela sera évidemment beaucoup plus simple quand tu auras fait les exercices. Soit x ∈ E. Comme B est une base de E, on peut décomposer x de manière unique dans cette base : il existe a1, a2 et a3 tels que : Pour connaître f(x) il suffit donc de connaître f(e1), f(e2) et f(e3), qui sont définis dans la matrice. e’1 = 7e1 + e2 – 4e3 Plus en détails pour chacun des cas : Soit une application linéaire de vers . Si f est une application linéaire de E vers F et α un scalaire, notons αf l'application de E vers F qui, à tout v de E associe α.f(v).On définit ainsi une loi de composition externe dans l'ensemble, noté L(E,F), des applications linéaires de E vers F. Muni, de cette loi et de l'addition des applications, L(E,F) est un espace vectoriel sur K. La matrice de passage possède quelques particularités que tu dois connaître. En effet, une application est entièrement définie si on connaît l’image de tous les vecteurs de l’espace de départ. En effet je ne sais pas comment déterminer la matrice associée d'une application linéaire (cette notion a été très rapidement abordée en cours). . Si est la matrice de et la matrice de , la proposition 4 entraîne que .. Réciproquement si est inversible, alors définit une application linéaire unique de dans .La composée de cette application avec a pour matrice : c'est l'application identique. e’2 = 8e1 – 2e2 + 9e3 On peutmême«écraser»lerepère.Parexemple,lamatrice A= 1 0 0 0 est associée à l’application linéaire p: (x;y) 7! Matrice associée à une application linéaire. Soit B = (e1, e2, e3) une base de E et B’ = (e’1, e’2) une base de F, telles que : et un nombre de colonnes égal à la dimension de l'espace de départ de Sous-groupes compacts de GLn(R) [Al] Feuilles de Travaux Dirigés Feuille n°1 : Le groupe linéaire Tout d’abord, de par sa définition, P correspond à la matrice de l’application identité (Id) de la base B’ dans la base B. Pour exprimer la matrice A d'une application linéaire h, il suffit d'exprimer l'image de la base , soit et seront les colonnes de ta matrice. Il faut trouver les propriétés de l’application linéaire f associée à chacune de ces matrices. Si tu as un cours sur la matrice d'un endomorphisme dans une base, tu peux y lire que ses colonnes sont les coordonnées (*) des images des vecteurs de la base. . une application linéaire de est. 1. . et Mais si on veut la matrice de passage de B’ dans B… on fait tout simplement P -1 ! e2 = 0e1 + 1e2 + 0e3 Le type de la matrice associée à l'application linéaire , donc par les vecteurs. Décomposition polaire [CG, G] 5. En effet : On retrouve une « sorte » de principe de Chasles mais : (B2;B1)(B3;B2) → (B3;B1) (attention cette notation est à faire uniquement au brouillon, elle n’est pas valable mathématiquement). En revanche, on peut très bien comprendre le principe avec un schéma : Et là en retrouve un vrai principe de Chasles ! B = P-1AP Posons E 11 = 1 0 0 0 ;E 12 = 0 1 ;E 21 = 0 0 0 1 ;E 22 = 0 0 0 1 . Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. Vérifions en calculant Q-1AP que l’on va simplifier avec le principe vu précédemment : Si on multiplie cette égalité par Q à gauche et P-1 à droite, on obtient : Ainsi on a pu transformer la matrice A de l’application f exprimée dans une base, à une autre matrice B de la même application mais exprimée dans une autre base, uniquement en multipliant par des matrices de passage ! . . 4. uniques. Représentation d’une application linéaire On considère l'espace vectoriel P3 des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et la base B = (1 ; x; x2; x3). Les résultats s’ex-priment en explicitant une (ou plusieurs) matrice M0qui est la matrice de f dans une base bien choisie et ensuite en montrant que toutes les autres matrices sont de la forme M =P 1M0P. Enfin, pour terminer la partie sur les matrices de passage, mentionnons le fait que l’on puisse, grâce aux matrices de passage, exprimer les coordonnées d’un vecteur dans une autre base. f(e2) = -8e’1 + 5e’2 -ième colonne est constituée par les coordonnées dans la base Remarque : pour les applications, comme f, la notation respecte l’ordre des bases. Nous verrons que pour les matrices de passage l’ordre est inversé… + y p u ′ p F , on note X ℬ = [ x j ] 1 ≤ j ≤ n et Y ℬ ′ = [ y i ] 1 ≤ i ≤ p les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs x … Cela signifie que si De plus, on a dit que P était la matrice de passage de B dans B’. Calculs avec les matrices de passage ) signifie que l'on considère l'espace vectoriel On pose : Ici B1 et B’1 sont des bases de E, B2 et B’2 sont des bases de F. . et si . ; - le premier qui, pour un même est un entier compris entre La matrice A, relativement aux bases B et B’, notée MatB, B’(f) est : Comme tu le vois, chaque colonne correspond aux coordonnées de f(e1), f(e2) et f(e3), c’est-à-dire les images des vecteurs de la base de l’espace de départ. Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ? —. et de celle de Déterminer une matrice associée à une application linéaire. f(1) = 2 x 0 – 1 = -1 Notons B l’ancienne base et B’ la nouvelle base. Ce pseudo principe de Chasles s’effectue avec la notation car, comme vu précédemment, les bases ne sont pas dans le même ordre selon que l’on parle de la notation ou du principe du passage d’une base à une autre. et Cas particulier, si on fait P -1 x P, on obtient la matrice de passage de B’ dans B’… qui est l’identité ! De même pour P x P -1. Vocabulaire : on dit aussi que c'est la matrice de Soit ce qui "prouve" qu'à une matrice donnée ne peut correspondre qu'une seule application linéaire (même en faisant varier les bases) or je vois bien que ce résultat est faux et donc qu'il y a une erreur dans ma "démonstration", mais je ne vois pas où :'-( Exemple n°6 Image des vecteurs de la base de E. Matrices associées à f+g et à kf Montrer que : (est injective si et seulement si ker )={0 }. Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. Voyons tout d’abord la formule de la multiplication de matrices sous forme générale (on a vu ci-dessus ce que cela donnait avec la matrice identité) : Comme tu le vois, au niveau des bases c’est comme précédemment avec le pseudo-principe de Chasles. —. Sur ce même principe, on peut combiner matrice de passage et matrice d’application linéaire. et une base de On aura donc les formules : Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. Savoir calculer avec des matrices : somme, produit, déterminant. —. f(e1) = 3e’1 + 4e’2 Pour bien comprendre, il faut que tu aies lu le chapitre sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, sinon tu risques de ne pas comprendre le vocabulaire employé. Je veux exprimer ce vecteur dans une autre base B’, on note ce nouveau vecteur X’. - si dépend uniquement de la dimension de -ème colonne de la matrice associée à par rapport aux bases Une question qui revient souvent au contrôle continu ou en devoir: écrire la matrice A d'une application f dans une base. . Représentation d’une application linéaire. f(X3) = 2 x 3X2 – X3 = 6X2 – X3. et On prend la base canonique de E : (1, X, X2, X3), et on définit l’application f par : Pour trouver la matrice de f dans la base B, il faut calculer l’image de chaque vecteur de la base : f(1), f(X), f(X2) et f(X3) : . est un entier compris entre 2. et Calculer ( ) pour ∈ Contrairement aux matrices des applications linéaires vues plus hauts, l’ordre dans la notation est inversé : P est la matrice de passage de B dans B’ MAIS elle est notée MatB’,B(Id)… — L'étude des propriétés des applications linéaires entre deux espaces de type fini permet d'affirmer que : - l'application linéaire Introduction Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée . Dé nition7 Application linéaire canoniquement associée à une matrice Soit A2M n;p(R) une matrice de nlignes et pcolonnes. La matrice A, relativement aux bases B et B’, est notée MatB, B’(f). Application linéaire associée à une matrice. par rapport aux bases et Des bases étant choisies respectivement dans Ce n’est pas n’importe quelle matrice de passage, et il faut bien appliquer le pseudo-principe de Chasles vu précédemment pour savoir si on multiplie par P ou P-1, à gauche ou à droite etc….

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