1. par e k u {\displaystyle {\begin{array}{cccc}u=\sum _{k=1}^{n}x^{k}e_{k}&&&v=\sum _{k=1}^{n}y^{k}e_{k}\\&&&\\&&&\\x_{k}=e_{k}\cdot u&&&y_{k}=e_{k}\cdot v\\\end{array}}}. = 1 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est aigu, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est obtus. Définition et propriétés Définition Étant donnés deux vecteurs et on appelle produit scalaire de et , noté , le nombre réel Exemple avec et , on obtient Complément = Pour calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} , on projette orthogonalement le point C sur la droite (AB) . Dans un repère orthonormé, il est facile de calculer le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x ^{\prime} \\ y ^{\prime} \end{pmatrix} grâce à la formule suivante : Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), soient \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x ^{\prime} \\ y ^{\prime} \end{pmatrix} deux vecteurs du plan; alors : Lorsque la figure ne comporte pas de repère orthonormé, il est toujours possible d'en choisir un soi-même. ∑ Révisez en Première : Exercice Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormal avec Kartable ️ Programmes officiels de l'Éducation nationale = x v Calculons alors le produit scalaire de L'angle \widehat{DIB} est ici un angle obtus. Un vecteur directeur de d est : Un vecteur normal de d est tel que : Soit : 3a + 2b = 0. a = 2 et b = − 3 conviennent, ainsi le vecteur est un vecteur normal de d. = Définitions. ⋅ Le projeté orthogonal d’un point M sur une droite d est le point d’intersection M′ de la droite d et de la … A (− 1; − 1), B (4; − 1) et C (3; 3) dans un repère orthonormé. k dompig produit scalaire dans un repère orthonormé 25-02-10 à 09:57 mille excuses, les coordonnées des 4 points sont : A(-2;-1) B(1;-3) C(5;3) et D(9;0) j'ai réussi pour le croquis mais je ne sais pas comment faire pour le mettre sur le forum Dans le triangle ci-dessus, d'après la relation de Chasles : \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB}. On peut alors calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} de la façon suivante : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC} \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}. un vecteur de coordonnées covariantes (y1, y2, ... , yn) et de coordonnées contravariantes t(y1, y2, ... , yn). k est une base orthonormée directe si et seulement si est une base orthonormée et i,j 2 2 . Nous introduisons les notions de coordonnées covariantes et contravariantes que nous retrouverons dans des leçons plus élaborées sur les tenseurs. u Dans ce cas le repère est appelé repère orthonormé direct . = ⋅ Par conséquent : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}{}^2 -\overrightarrow{IB}{}^2 =AI{}^2 -IB{}^2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=6{}^2 -3{}^2 =36 - 9=27. e Dire que l'angle \widehat{BAC} est obtus revient à dire que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} ont des sens opposés. Le produit scalaire de Il existe de nombreuses méthodes permettant de calculer un produit scalaire. Grâce au repère orthonormé de l'espace, on peut définir les coordonnées d'un vecteur comme dans le plan et définir le produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs. x k = Ce réel ne dépend pas du repère choisi. y k 1 Nous verrons comment l’expression bien connue du produit scalaire dans un repère orthonormé se généralise dans un repère non orthonormé. v . n Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées des vecteurs. On a donc : \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -IB \times IA \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -2 \times 2= -4, Si l'on connaît l'angle \widehat{BAC}, on peut calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} en utilisant les longueurs AB et AC ainsi que le cosinus de l'angle \widehat{BAC}(Voir Définition du produit scalaire.). u v y On peut étendre la notion de produit scalaire dans le plan, établie ci-dessus, à deux vecteurs de l'espace. N Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base de l'espace et soit \overrightarrow{u} un vecteur de l'espace. En effet, considérons les 3 points A, B, C tels que u = AB et v = AC . k Lorsque l'on connaît trois distances, par exemple, les longueurs des trois côtés d'un triangle, On peut calculer un produit scalaire en utilisant l'une des égalités ci-dessous (Voir propriété) : Cette formule est particulièrement utile lorsque l'on connaît les trois côtés d'un triangle ou lorsque l'on connaît 2 côtés et la médiane issus du même point ; on utilise alors souvent une des relations ci-dessous : \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB} (Relation de Chasles), Si M et le milieu du segment [BC]\ : \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM} (Propriété de la médiane). 1 k Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies. k Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé 1. ) De plus, \overrightarrow{IC}= \overrightarrow{AI}, IB=\frac{1}{2} DB=3 et IC=AI=\frac{1}{2} AC=6. Exemple : On se place dans un repère orthonormé du plan. n = = ∑ u Produit scalaire et calcul d'angles dans un repère orthonormé a. v Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul. Une telle famille est dite orthonormale [1], [2] si de plus tous ces vecteurs sont unitaires : ∀ ∈ ‖ ‖ = 1 y e = = On rappelle que (norme du vecteur ) désigne la longueur du segment […] v ( = n par Pour calculer le produit scalaire AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} ​AB​​​⋅​AC​​​ , on projette orthogonalement le point CCC sur la droite (AB)(AB)(AB) . Les propriétés du produit scalaire vues en 1S dans le plan sont donc également valables dans l’espace. ) ( PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. k k (d) de vecteur directeur et (d’) de vecteur directeur ’ . 1 Produit scalaire de deux vecteurs Définition Soient et deux vecteurs non nuls du plan. . Nous allons dans ce paragraphe étendre le produit scalaire que vous connaissez dans le plan à l'espace. x n Ainsi, tu deviendras un crack dans le calcul d’un produit scalaire. ) k k Notons H ce projeté orthogonal : On utilise alors le théorème suivant (voir cours) : Soient A, B, C trois points du plan et si H est la projection orthogonale de C sur la droite \left(AB\right). Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs et . Nous allons voir, dans ce chapitre, 5 des principales méthodes utilisées en classe de Première pour calculer un produit scalaire : Appliquer une formule utilisant le cosinus d'un angle. k k Étudier une orthogonalité avec le produit scalaire dans un repère orthonormé > ... Courriel (non publié) Votre site web; Pour afficher votre trombine avec votre message, enregistrez-la d’abord sur gravatar.com (gratuit et indolore) et n’oubliez pas d’indiquer votre adresse e-mail ici. Pour trouver le résultat demandé, on peut se placer dans un repère de centre I et employer la méthode précédente. (Il suffit de se placer dans un plan contenant les deux vecteurs, ce qui est toujours possible) Les propriétés vues pour le produit scalaire dans le plan s'étendront au produit scalaire dans l'espace. k u {\displaystyle n\in \mathbb {N} } n II. Leçon : PRODUIT SCALAIRE dans l’espace Présentation globale 1) Le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace 2) Vecteurs orthogonaux 3) Produit scalaire et norme 4) repère orthonormé de l’espace base orthonormé de l’espace 5) analytique du produit scalaire dans l'espace 6) L'ensemble des points dans l'espace tq : u AM k. Expression analytiques du produit scalaire dans un repère orthonormé: Base orthonormée: Soient i d et j gd deux vecteurs non nuls du plan ; On dit que ij, d gd est une base orthonormée du plan si et seulement si i j i j A1 et . Produit scalaire dans un repère orthonormé 1) Base et repère orthonormé ... Définition : Un vecteur non nul ^"⃗ de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. ... Dans un repère orthonormé, soit %S 1 2 −2 U, &S −1 3 1 U et 0’S 2 −2 Nous verrons ce que devient, en fonction des coordonnées, l’expression du produit scalaire dans un repère non orthonormé. Dans ce cas le repère R O,i,j est appelé repère orthonormé . Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. (Remarque : On peut montrer que ce résultat est encore correct si ABCD est un parallélogramme quelconque et non nécessairement un losange), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AH, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -IB \times IA, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -2 \times 2= -4, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB \times AC \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right), \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=12 \times 6 \times \cos(50 \degree). e y ∑ Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. ) = e 1. Produit scalaire dans le plan 1.1. On en déduit, d'après la seconde égalité du théorème précédent : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{AB}||{}^2 +||\overrightarrow{AC}||{}^2 -||\overrightarrow{BC}{}||^2 \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( 9{}^2 +6{}^2 -8{}^2 \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 53=26,5. 4 Le produit scalaire peut servir : • Pour démontrer par le calcul, un repère orthonormé étant choisi, une orthogonalité. L’expression analytique du produit scalaire et la norme d’un vecteur dans un repère orthonormé : 5 u Pour la figure ci-dessous, on souhaite déterminer une valeur approchée à 10{}^{ -2} près du produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} . ⋅ AB→ et AH→ont le même sens : 2. 1 y ∈ On cherche à calculer la valeur du produit scalaire \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID} . Toutefois, Il est également possible ici de décomposer les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} en utilisant la relation de Chasles et en faisant intervenir le point I : \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}.

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