endobj Exercice VI : Série entière et rayon de convergence /Widths[777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 /LastChar 196 /Widths[295.1 531.3 885.4 531.3 885.4 826.4 295.1 413.2 413.2 531.3 826.4 295.1 354.2 /Name/F6 /BaseFont/NJLTZD+CMR8 Indication : pour évaluer R /LastChar 196 En déduire que f n’est pas développable en série entière en 0. 128/Euro/integral/quotesinglbase/florin/quotedblbase/ellipsis/dagger/daggerdbl/circumflex/perthousand/Scaron/guilsinglleft/OE/Omega/radical/approxequal endobj 0000025834 00000 n ��It����Q��.C��P�E������/ˣ��Wi�M���0�P>��)f��e��ʯ��,��nNT?��]�,՛��d�����S�nu}���ѱܷq������Ka�� �E��G�d����>���iR^��(�����EG ��L9;���Ā�����Z
��$~�3B�>�p0��1�&" ̌Ns�ŔOZ��2�`�X���H
$����.7����*� 4�sj�i#9*'�Mp��#B� q�`�`�,
A�{�*Z���q`�&�|m�� O��q�Ό�x�r0K@A3��?? endobj En déduire, pour ∆ ‘ ]0,π[ la valeur de ∑ 0 & sin (2n + 1) ∆ 2n + 1. << Corrigé 10. a)Il est classique (en considérant S 2n S n) que limS n= +1. P +1 n=0 a nz n oùD(O;R) = fz2C : jzj> Cherchons les solutions sous forme de série entière donc. /FirstChar 33 a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant g. b) Pour tout x ∈ ] − 1 , 1[ , exprimer g ( x ) en fonction de f ( x ) . 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 272 761.6 462.4 761.6 679.6 652.8 734 707.2 761.6 707.2 761.6 0 0 707.2 571.2 544 544 816 816 272 h��=���q�Y�����D^�.�N���'��C��W�1��8).��tvC�t�,$���{-R��z�0� 722 611 556 722 722 333 389 722 611 889 722 722 556 722 667 556 611 722 722 944 722 stream /Widths[791.7 583.3 583.3 638.9 638.9 638.9 638.9 805.6 805.6 805.6 805.6 1277.8 1 Développement en série entière d’un inverse : Nombres de Bernoulli et nombres d’Euler Soit P a kzk une série entière de rayon de convergence R > 0, et soit la fonction: S : D(O;R) ! << 0000009274 00000 n /Name/F4 Bonjour à tous, mon problème vient du développement en série entière de Je pense donc au produit de Cauchy ce qui donne d'abord : et en faisant le changement de variable dans la somme de droite j'obtiens: /Name/F8 1002.4 873.9 615.8 720 413.2 413.2 413.2 1062.5 1062.5 434 564.4 454.5 460.2 546.7 495.7 376.2 612.3 619.8 639.2 522.3 467 610.1 544.1 607.2 471.5 576.4 631.6 659.7 /Name/F5 %�쏢 53 0 obj endobj 0000008787 00000 n /FontDescriptor 12 0 R En comparant les coefficients de , on obtient : . 53 32 /FontDescriptor 15 0 R /Type/Font /Widths[660.7 490.6 632.1 882.1 544.1 388.9 692.4 1062.5 1062.5 1062.5 1062.5 295.1 /LastChar 196 761.6 272 489.6] 0000009980 00000 n /Widths[272 489.6 816 489.6 816 761.6 272 380.8 380.8 489.6 761.6 272 326.4 272 489.6 /FirstChar 33 295.1 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 295.1 295.1 0000009912 00000 n /Encoding 7 0 R Y�ŋHtEp�d�6A�ũ-B62Q]Л�;\�_LV�V���j�/E�Uuի2��N����� ^�;���f��Y�C�`E��(T����n���1� �������;})&J�nȽ������'TR��7 nGf��?.��_s"I��Ko|_��-��˃�G3U�jmL&�e��G��v]k�$��X 1�2������ft���iC��AiC�2�M7m��v��@��-^����ͷ���[��U�m�)O���уp� ] �c7SK��!��b���Ym�� Par exemple la fonction plateau : → {− / ≠ = admet des dérivées successives toutes nulles en 0 ! /Contents 56 0 R �餀W�}����qvd��
�!�9lcqx�|ijycmY,�>�.�co`�Y@)e]�(`;0.tڎP+��u%����0�pT����f��0�D�a����Gj%v�H hCwD`�nd��*�3�z�t�W���#�1k|v�k���peh�a����I�4�׆Ov�o�6{%t6��eGeRo[g�-XJ�1S�8�"X��ٝ�h� C’est utilisable : 1. pour tout polynôme e… 299.2 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 734 435.2 489.6 707.2 761.6 489.6 883.8 992.6 295.1 826.4 531.3 826.4 531.3 559.7 795.8 801.4 757.3 871.7 778.7 672.4 827.9 872.8 11. M1.2. Analyse : développement en série d’une fonction 7.4. /FirstChar 33 0000009767 00000 n << xn: Il faut donc commencer par calculer le f(n) 1 (0) pour tout n. Ensuite, on étudiera sur quel intervalle f 1(x) est égale à son développement de aTylor. 462.4 761.6 734 693.4 707.2 747.8 666.2 639 768.3 734 353.2 503 761.2 611.8 897.2 0000010489 00000 n 1000 1000 1055.6 1055.6 1055.6 777.8 666.7 666.7 450 450 450 450 777.8 777.8 0 0 1.Montrer qu’il existe une suite de polynômes (P n) n2N telle que pour tout entier naturel n, f(n) =P n f et que les P n sont à coefficients entiers naturels. 491.3 383.7 615.2 517.4 762.5 598.1 525.2 494.2 349.5 400.2 673.4 531.3 295.1 0 0 278 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 278 278 564 564 564 444 921 722 667 667 531.3 531.3 413.2 413.2 295.1 531.3 531.3 649.3 531.3 295.1 885.4 795.8 885.4 443.6 amicalement, e.v. 833 556 500 556 556 444 389 333 556 500 722 500 500 444 394 220 394 520 0 0 0 333 C z 7! On obtient alors une somme "globale" des bn * x^n, ce qui nous permet d'exprimer la suite les an par unicité du développement en série entière. Développement en série entière Exercice 8.1 Premiers exemples de développements en série entière Montrer que les fonctions suivantes sont développables en série entière au voisinage de 0 et, dans chaque cas, calculer leur développement en série entière au voisinage de 0. /Type/Font 947.3 784.1 748.3 631.1 775.5 745.3 602.2 573.9 665 570.8 924.4 812.6 568.1 670.2 708.3 708.3 826.4 826.4 472.2 472.2 472.2 649.3 826.4 826.4 826.4 826.4 0 0 0 0 0 On peut parfois exprimer, au moyen de leur développement en série entière, des solutions d’une équation différentielle. 694.5 295.1] 0000008808 00000 n 3-c) Développements en série entière et dérivation ou intégration.....page 26 4) Développement en série entière des fractions rationnelles ..... page 27 c Jean-Louis Rouget, 2017. /LastChar 127 0000009079 00000 n trailer 3) On note an les coefficients du développement précédent et g la somme de la série entière associée à la suite (an)n∈N. /FirstChar 1 0000010691 00000 n /Subtype/Type1 2. . /FontDescriptor 30 0 R Développement en série de Taylor: Cours 6 (26.03) Rayon de validité du développement en série de Taylor et rayon de convergence. 0000001068 00000 n 7.10 1) Déterminer le polynôme de Taylor de degré n de la fonction f(x)=ex au voisinage de a =0. 1 4+2x2. est développable en série entière sur ssi pour tout de , la suite de terme général converge vers . /Name/F9 611.1 777.8 777.8 388.9 500 777.8 666.7 944.4 722.2 777.8 611.1 777.8 722.2 555.6 endobj 2. <> /Type/Font endobj REMARQUE SUR LE DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE DUNE BRANCHE DE FONCTION IMPLICITE; PAR M. E. GOURSAT. 1444.4 555.6 1000 1444.4 472.2 472.2 527.8 527.8 527.8 527.8 666.7 666.7 1000 1000 Théorème 3.1 : condition nécessaire de développement en série entière Définition 3.2 : série de Taylor d’une fonction de classe C ∞ autour de 0 Théorème 3.2 : développements en série entière obtenus directement ou par la formule de Taylor Théorème 3.3 : développements en série entière obtenus par combinaisons linéaires /BaseFont/AQEBDK+CMMI8 %PDF-1.4 0 /Type/Encoding /LastChar 196 888.9 888.9 888.9 888.9 666.7 875 875 875 875 611.1 611.1 833.3 1111.1 472.2 555.6 >> 10 0 obj endobj b)On écrit R k+1 k dt t 6 1 k 6 R k k 1 t, d'où le résultat. >> dans certains cas, si on sait que la fonction est développable en série entière, on peut trouver son développement en utilisant sa série de Taylor. 1 http ://www.maths-france.fr << 722 722 722 556 500 444 444 444 444 444 444 667 444 444 444 444 444 278 278 278 278 833.3 1444.4 1277.8 555.6 1111.1 1111.1 1111.1 1111.1 1111.1 944.4 1277.8 555.6 1000 1 3 2 2 − ++ x x x x a, b. 708.3 795.8 767.4 826.4 767.4 826.4 0 0 767.4 619.8 590.3 590.3 885.4 885.4 295.1 /Name/F3 820.5 796.1 695.6 816.7 847.5 605.6 544.6 625.8 612.8 987.8 713.3 668.3 724.7 666.7 333 722 0 0 722 0 333 500 500 500 500 200 500 333 760 276 500 564 333 760 333 400 J'attends ton bidouillage avec curiosité. 39 0 obj 545.5 825.4 663.6 972.9 795.8 826.4 722.6 826.4 781.6 590.3 767.4 795.8 795.8 1091 /Subtype/Type1 /Type/Font 460.7 580.4 896 722.6 1020.4 843.3 806.2 673.6 835.7 800.2 646.2 618.6 718.8 618.8 >> endobj 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 761.6 489.6 Toute équation F(x,y) = o, dont le premier membre est une fonction holomorphe de deux va-riables x et y dans le voisinage d'un système de valeurs x0, y0, pour lequel on a F(x0tiy0) = o, la dérivée -7- n'étant pas nulle pour x = x0, yz=yOy >> /Type/Font 295.1 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 295.1 Déterminer la somme d'une série entière Pour exprimer la somme d'une série entière à l'aide des fonctions classiques, on se ramène toujours aux développements en série entière usuels. 611.1 798.5 656.8 526.5 771.4 527.8 718.7 594.9 844.5 544.5 677.8 762 689.7 1200.9 0 0 0 0 0 0 0 333 180 250 333 408 500 500 833 778 333 333 333 500 564 250 333 250 endobj sin(z) ne s’annule jamais sur U. Déterminer en tout z 0 2U donné le rayon de convergence du développement en série de Taylor de f. Remarque : il est déconseillé de chercher à résoudre ce problème en déterminant explicitement les coefficients des séries de … /FontDescriptor 24 0 R ǵ�#wg5O�r,J��ac����1��/o�ʉ��Ѩ������q���';3 /Subtype/Type1 389 333 722 0 0 722 0 333 500 500 500 500 220 500 333 747 300 500 570 333 747 333 /Subtype/Type1 x��]��$�q�|�(��n���B@0l�,���/~�) En déduire que pour tout n 2 N, f(n)(0) = 0. M1. 761.6 489.6 516.9 734 743.9 700.5 813 724.8 633.9 772.4 811.3 431.9 541.2 833 666.2 /BaseFont/WKPLKI+CMSY10 0000026061 00000 n 777.8 777.8 1000 500 500 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 /Subtype/Type1 /BaseFont/LRNBIS+MSBM10 /FontDescriptor 36 0 R 2)En utilisant la formule de Taylor-Laplace, montrer que la série de Taylorà l’origine de f a un rayon de convergence R supérieur ou égal à π 2. 324.7 531.3 590.3 295.1 324.7 560.8 295.1 885.4 590.3 531.3 590.3 560.8 414.1 419.1 791.7 777.8] 25 0 obj << 0000008850 00000 n cos( ) 1 1 x2 −x θ+ =|���o�?�����J��7v��c5 /LastChar 196 II.1) Justifier que la fonction f est de classe C1 et que la fonction f 0 est développable en série entière. <<6DAEC98C191B3385A4E02EC74271D40A>]/Prev 106018>> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 458.3 458.3 416.7 416.7 666.7 666.7 666.7 666.7 611.1 611.1 444.4 444.4 444.4 444.4 500 500 388.9 388.9 277.8 Sur un domaine donné, la fonction est égale à la série de fonctions simples. 1 1+3x, x 7! Exprimer avec la suite (an)n2N le développement en série entière de la fonction f 0 en précisant son rayon de convergence. /BaseFont/KPRBPJ+NimbusRomNo9L-Regu /Widths[609.7 458.2 577.1 808.9 505 354.2 641.4 979.2 979.2 979.2 979.2 272 272 489.6 3. Par la condition suffisante : étant supposée de classe sur , est développable en série entière sur lorsque la suite de terme général converge vers . 0 0 0 0 0 0 0 333 278 250 333 555 500 500 1000 833 333 333 333 500 570 250 333 250 413.2 590.3 560.8 767.4 560.8 560.8 472.2 531.3 1062.5 531.3 531.3 531.3 0 0 0 0 /BaseFont/CBKWNR+CMEX10 Mon problème est que dans cet exercice je n'arrive pas à faire apparaître les x^n sur toutes les sommes que j'obtiens. Déterminer solution de l’équation différentielle ( ) 2. 722 722 667 333 278 333 581 500 333 500 556 444 556 444 333 500 556 278 333 556 278 275 1000 666.7 666.7 888.9 888.9 0 0 555.6 555.6 666.7 500 722.2 722.2 777.8 777.8 >> <> 0000024971 00000 n Exercice 5 Convergence et valeur de . Expliquons cela en traitant un exemple : Exemple : Soit l’équation différentielle: . 767.4 767.4 826.4 826.4 649.3 849.5 694.7 562.6 821.7 560.8 758.3 631 904.2 585.5 1. … 720.1 807.4 730.7 1264.5 869.1 841.6 743.3 867.7 906.9 643.4 586.3 662.8 656.2 1054.6 783.4 872.8 823.4 619.8 708.3 654.8 0 0 816.7 682.4 596.2 547.3 470.1 429.5 467 533.2 En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme ∑ où les coefficients a n forment une suite réelle ou complexe. /Type/Font >> 1. x 7!2 1 x +exp(x). /FontDescriptor 27 0 R /BaseFont/OKXJZP+NimbusRomNo9L-Medi 444 1000 500 500 333 1000 556 333 889 0 0 0 0 0 0 444 444 350 500 1000 333 980 389 En utilisant laformule de Taylor : M1.1. 1277.8 811.1 811.1 875 875 666.7 666.7 666.7 666.7 666.7 666.7 888.9 888.9 888.9 334 405.1 509.3 291.7 856.5 584.5 470.7 491.4 434.1 441.3 461.2 353.6 557.3 473.4 �o�1x��䓡���Ϡ�����\#����������3+�ʌ��Ȩ�����}���m;|�|dž/wOwn��O����>���G��;_���W,����A��0(��pw������V�?-���pT��֙�P��A��z%�/�aRퟔ_��g��Ɩ�Z��j���~y�T����{���Zi�ml����~���I�s��~��2�?��˯'��W�z��6~�?�vܥYⓤsg�������`F歳t�iU�ؿ-]�q�ZI;�Տ�b��1��ݿ)��`>�[���=?�(c��%6����ٝ��V 37 0 obj 34 0 obj En effet ce qui m'embête c'est que la suite an n'est pas définie pour n=0 Tous droits réservés. 2) Quel degré minimum doit avoir le polynôme de Taylor pour obtenir les 6premières décimales de e? startxref
500 500 500 500 500 500 500 564 500 500 500 500 500 500 500 500] /Widths[1000 500 500 1000 1000 1000 777.8 1000 1000 611.1 611.1 1000 1000 1000 777.8 0000000952 00000 n /Filter[/FlateDecode] 56 0 obj 28 0 obj 13 0 obj 0000020843 00000 n 2- Il faut commencer par développer la dérivée de . @=��4���a�"6���S��@q�WП�HX /Encoding 7 0 R 826.4 295.1 531.3] /LastChar 255 Une combinaison linéaire de fonctions développables en série entière est développable en série entière. 0000009829 00000 n endobj Exercice 25 [ 00982 ] [correction] /Name/F2 Soit une série entière dont le rayon de convergence est strictement positif. 666.7 722.2 722.2 1000 722.2 722.2 666.7 1888.9 2333.3 1888.9 2333.3 0 555.6 638.9 8. 324.7 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 795.8 472.2 531.3 767.4 826.4 531.3 958.7 1076.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 826.4 295.1 826.4 531.3 826.4 3 dÉveloppement en sÉrie entiÈre 123 4 somme de sÉries numÉriques 155 5 calcul de suites 179 6 exercices thÉoriques 191 7 rÉsolution d’Équations diffÉrentielles 229 8 sÉries entiÈres et intÉgrales 273 9 convergence normale et uniforme 297 10 autres exercices 303 i. /LastChar 196 xref 795.8 795.8 649.3 295.1 531.3 295.1 531.3 295.1 295.1 531.3 590.3 472.2 590.3 472.2 Développements en séries entières usuels Fonction Développement en série entière (DSE) Intervalle de validité du DSE x 6ex 23 0 0000010722 00000 n /FirstChar 33 /Type/Font 734 761.6 666.2 761.6 720.6 544 707.2 734 734 1006 734 734 598.4 272 489.6 272 489.6 3. Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. 380.8 380.8 380.8 979.2 979.2 410.9 514 416.3 421.4 508.8 453.8 482.6 468.9 563.7 c)On encadre la série entre deux séries qui sont alternées à partir d'un certain rang. << /Subtype/Type1 /Length 1898 En utilisant une décomposition en éléments simples, montrer que les fonctions suivantes sont développables en série entière en 0, en donnant l’intervalle sur lequel ce développement est valable : a. Le développement en série entière suit. /Subtype/Type1 /Subtype/Type1 500 500 611.1 500 277.8 833.3 750 833.3 416.7 666.7 666.7 777.8 777.8 444.4 444.4 /Type/Font Corrigé de l’exercice 5 : Le rayon de convergence est égal à car et a même rayon de convergence que . I.1.3 Dériver terme à terme le développement en série entière de F(x,z)et l’identi-fier avec le développement en série entière de la dérivée (par rapport à x) de F(x,z). 777.8 777.8 1000 1000 777.8 777.8 1000 777.8] 4 Développement d'une fonction en Série Entière, Sommation de Séries Entières. /Differences[1/dotaccent/fi/fl/fraction/hungarumlaut/Lslash/lslash/ogonek/ring 11/breve/minus /Type/Font /FontDescriptor 18 0 R Il en est de même de la dérivée ou d'une primitive d'une fonction développable en série entière. 22 0 obj 0000025571 00000 n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 642.9 885.4 806.2 736.8 722 611 333 278 333 469 500 333 444 500 444 500 444 333 500 500 278 278 500 278 778 Alors la série entière ∑ (a n + b n 652.8 598 0 0 757.6 622.8 552.8 507.9 433.7 395.4 427.7 483.1 456.3 346.1 563.7 571.2 << 31 0 obj 0000001231 00000 n /FirstChar 33
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