| {\displaystyle \gamma } c Cette formule a de nombreuses applications, outre le fait de montrer que toute fonction holomorphe est analytique, et permet notamment de montrer le théorème des résidus. Il s’agit de l’élément actuellement sélectionné. Son nom est un hommage à l'analyste français Augustin Louis Cauchy. {\displaystyle \theta \in [0,2\pi ]} γ Si deux séries convergent il y a pourtant des résultats de convergence positifs pour leur produit de Cauchy. Lorsque les séries ( ) n {\displaystyle \sum a_{n}x^{n}} ⊂ − a Il s'agit d'un produit de convolution discret. et Les démonstrations On a supposé dans la démonstration que U était connexe, mais le fait d'être analytique étant une propriété locale, on peut généraliser l'énoncé précédent et affirmer que toute fonction holomorphe sur un ouvert U quelconque est analytique sur U. γ Mais elle n’est pas absolument convergente. z Soient deux polynômes à coefficients complexes P et Q donnés par leur décomposition dans la base canonique, où les coefficients de P et de Q sont nuls à partir d'un certain rang. Convergence simple et convergence dans Lp 82 3. Normes Lp 83 4. Généralisation aux algèbres de Banach. n a a ∞ f 3) … − Clémentine Laurens Inégalité(s) de Cauchy-Schwarz Théorème 4 (Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale, version "intégrale sur un intervalle quelconque") . ou 3. n 1 {\displaystyle \sum {\tfrac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}} Généralisation aux algèbres de Banach. [ P=∑i=0+∞aiXi,Q=∑j=0+∞bjXj{\displaystyle P=\sum _{i=0}^{+\infty }a_{i}X^{i},\qquad Q=\sum _{j=0}^{+\infty }b_{j}X^{j}} où les coefficients de P et de Qsont nuls à partir d'un certain rang. n ( Preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. (voir infra), leur produit de Cauchy converge, et l'on peut écrire la formule de distributivité généralisée. On n’effectue pas toutes les démonstrations. 4.4 Produit de séries 28 4.5 Exercices 30 5 séries semi-convergentes33 5.1 Séries alternées 33 5.2 Critères de Dirichlet et d’Abel 35 5.3 Exercices 36 6 intégrales généralisées39 6.1 L’intégrale généralisée 39 6.1.1 Propriétés de l’intégrale généralisée 41 xiii Or k(n – k) ≤ (n – 1)2, si bien que | cn | ≥ 1 ; la série est donc grossièrement divergente[1]. 2.1.3 Critère de Cauchy Définition 2.1.5 On dit que la série P an vérifie le critère de Cauchy si ∀ε > 0 ∃N ∈ Ntel que ∀p ≥ N ∀q ≥ p on a Xq n=p an ≤ ε. Autrement dit, la série P an satisfait le critère de Cauchy si et seulement si la suite associée (An)n, An = Pn k=0 ak, est une suite de Cauchy. < U a La réindexation nécessaire ne pose pas de difficulté puisque la somme est finie. ) {\displaystyle \sum b_{n}} 1 L'inégalité s'énonce de la façon suivante : PQ=∑i∈N,j∈NaibjXi+j=∑s=0+… = compact, donc bornée, on a convergence uniforme de la série. C'est bien pour se faire une idée, delta-B, mais ça ne prouve pas l'inégalité, en particulier lorsque b-a 1, en effet dans ce cas là il faut tenir compte du facteur (b-a), sinon on peut trouver l'inégalité dans les deux sens : Par exemple pour a=0, b=2, et f … 2 2 ( 1 soit absolument convergente. Bonjour Ramanujan Je suppose . et Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Soient deux polynômes à coefficients complexes P et Q donnés par leur décomposition dans la base canonique 1. π ∑ z | , , et n tel que ∑ {\displaystyle \sum a_{n}} ] n En outre, le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes converge, et la formule de distributivité généralisée tient toujours. π ∈ Application de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz 82 2. Par exemple, il est possible de reprendre le calcul du produit de deux exponentielles effectué dans le cas complexe (voir supra). Convol´ee de probabilit´es de Poisson * 80 Chapitre 5. le cercle de centre a et de rayon r orienté positivement paramétré par Rappel de quelques définitions, en liaison avec le texte de Cauchy Cauchy distingua l’intégrale définie de l’intégrale indéfinie. [ 0 , Si E est R[X]ou RN ou RR, la notation P.Q ou u.v ou f.g pourrait être confondue avec le produit de deux polynômes, de deux suites ou de deux fonctions et serait donc trop ambigüe. a π  Au sommaire de cette page : Cas préhilbertien : inégalité de Cauchy … ∑ ( θ | On suppose que A est une algèbre de Banach. {\displaystyle {\frac {1}{\gamma (\theta )-a}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z-a}{\gamma (\theta )-a}}}}={\frac {1}{\gamma (\theta )-z}}} sur ( de la série de terme général ∑ Alors il est possible de définir la notion de produit de Cauchy de deux séries à valeurs dans A. On note (c n) n2N la suite d e nie par 8n 2N, c n = Xn k=0 a kb n k. On cherche a montrer que X n c n est absolument convergente et que +X1 n=0 c n = +X1 n=0 a La seule propriété qui manque pour pouvoir écrire la formule est la possibilité d'appliquer la formule du binôme de Newton, ce qui demande de supposer par exemple que a et b commutent. ce qui prouve la convergence uniforme sur ( θ Propriétés d'additivité et de croissance des mesures. ) Celui-ci est entièrement déterminé par les valeurs que prend la fonction sur un seul chemin (à l'image du principe des zéros isolés). Il permet de généraliser la propriété de distributivité. Le produit de Cauchy de deux séries 1.3 Exemples fondamentaux On donne ici une liste de produits scalaires usuels. − 0 S´eries de Fourier dans L2 * 84 5. D θ a On suppose que A est une algèbre de Banach. − {\displaystyle [0,2\pi ]} La série produit est réduite à 1 (rayon infini). Les espaces de fonctions int´egrables 82 1. Alors leur produit se décompose comme. {\displaystyle \left|{\frac {z-a}{\gamma (\theta )-a}}\right|={\frac {|z-a|}{r}}<1} En effet, l'indice de z par rapport à C vaut alors 1, d'où : Cette formule montre que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est entièrement déterminée par les valeurs de cette fonction sur n'importe quel cercle entourant ce point ; un résultat analogue, la propriété de la moyenne, est vrai pour les fonctions harmoniques. z 0 ) 1 . [ n intégrale de : Riemann – Lebesgue – Kurzweil-Henstock – Stieltjes intégrale impropre – intégrale paramétrique produit de convolution – valeur principale de Cauchy comparaison série-intégrale z INTÉGRATION Cauchy (1823), Riemann (1854), Lebesgue (1901). {\displaystyle a\in U} r n Preuve : produit de Cauchy Soit (a n) n2N et (b n) n2N deux suites num eriques telles que les s eries X n a n et X n b n sont absolument convergentes. ∘ Alors leur produit se décompose comme 1. b La formule intégrale de Cauchy, due au mathématicien Augustin Louis Cauchy, est un point essentiel de l'analyse complexe.Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. Questions de cours : 1) Donner les définitions de la convergence et de la convergence absolue, d’une intégrale +1 a, où f : ℝ est une fonction continue. ( Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], Méthodes de calcul d'intégrales de contour (en). x étant données, leur produit de Cauchy est également une série entière, puisque le terme général vaut cnxn avec, Les rayons de convergence Ra, Rb, Rc des trois séries entières vérifient l'inégalité. L'intégrale de Riemann , π b C'est le cas par exemple si l'on prend pour les deux séries ∑ xn (rayon 1) d'une part et 1 – x d'autre part (polynôme, donc de rayon infini). ] , Une écriture particulière des coefficients du produit de polynômes permet de comprendre l'introduction de la formule du produit de Cauchy. − 1 n ) θ ) x ∈ + n ⋅ Par exemple, le produit de Cauchy par elle-même de la série ∑ Il peut aussi arriver que Alors il est possible de définir la notion de produit de Cauchy de deux séries à valeurs dans A. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe. ) Chapitre 02 : Séries numériques – Cours complet. Par conséquent, il va falloir adapter la formule de Cauchy comme suit : pour tout n > 0. {\displaystyle \sum a_{n}} ( Méthodes de calcul d'intégrales de contour, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Formule_intégrale_de_Cauchy&oldid=151259945, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. Soit Définition de l’intégrale de Riemann Soient deux nombres réels 1 -----n x et son intégrale sur ]0,1], mais s'il y a plus simple, je suis preneur ! a Mais quand on fait le produit de Cauchy de cette série avec elle-même, on obtient la série , donc un polynôme de rayon infini. Ou encore, si l'on considère le développement de √1 – x en série entière, le rayon de convergence est 1. La dernière modification de cette page a été faite le 12 août 2018 à 16:16. r On sait que {\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}} converge. γ n Le mathématicien allemand Franz Mertens a prouvé une propriété de convergence plus forte : si l'une des deux séries converge et l'autre converge absolument, alors leur produit de Cauchy converge et la formule de distributivité généralisée a bien lieu[3],[4]. 0 Notion de tribus. b En analyse, le produit de Cauchy est une opération portant sur certaines séries. , [ 1 , ) On a pour tout Une écriture particulière des coefficients du produit de polynômes permet de comprendre l'introduction de la formule du produit de Cauchy. n Dans ses cours à l’École polytechnique, Cauchy donne une définition de l’intégrale comme limite des sommes (dites de Cauchy), qui correspondent aux rectangles situés sous la courbe et qui approchent celle-ci en limite. Mais quand on fait le produit de Cauchy de cette série avec elle-même, on obtient la série 1 – x (rayon infini). Mais quand on fait le produit de Cauchy de cette série avec elle-même, on obtient la série 1 – x (rayon infini). ) On peut donc lui appliquer le théorème intégral de Cauchy : En remplaçant g(ξ) par sa valeur et en utilisant l'expression intégrale de l'indice, on obtient le résultat voulu. − ∑ a ce qui permet d'effectuer une inversion des signes somme et intégrale : on a ainsi pour tout z dans D(a,r): et donc f est analytique sur U. . z ] démonstrations utilisées par Cauchy présentent quelques défauts. {\displaystyle [0,2\pi ]}  : | r Mais quand on fait le produit de Cauchy de cette série avec elle-même, on obtient la série 1 – x (rayon infini). n = 0 ∑ γ 0 n On en déduit la aleurv recherchée de l'intégrale : Z ˇ 2 0 cos(x) sin(x)2 5 sin(x) + 6 dx= ln 4 3 Exemple 3 Téléchargez d'autres exemples sur www.gecif.net ypTe de fonction à intégrer : produit de 2 fonctions dont une primitive est connue {\displaystyle f\circ \gamma } ) b {\displaystyle \sum a_{n}} n − En outre, l'intégrale de Cauchy ne s'applique qu'aux fonctions continues. ∑ . a vers. Le théorème de Mertens admet une réciproque[5] : si la série des an est telle que son produit de Cauchy par toute série convergente est convergente, alors − Fin des démonstrations sur les familles sommables. Il vient donc ceci : de nombres complexes est la série de terme général, Sous des hypothèses convenables sur les deux séries ∑ Il suffit en effet d'utiliser les propriétés de commutativité et d'associativité des familles sommables. {\displaystyle \sum b_{n}} Par exemple[2], le produit de Cauchy des séries 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + … et 1 – 2 + 2 – 2 + 2 – … est la série nulle (pour d'autres exemples, voir le § ci-dessous sur les séries entières). k=1 et là, je manque un peu d'idées pour simplifier ça ! {\displaystyle z\in D(a,r)} L'inégalité précédente peut être stricte. | {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(\gamma (\theta ))\cdot {\frac {(z-a)^{n}}{(\gamma (\theta )-a)^{n+1}}}} > des révisions sur l’Intégrale de Riemann, en dévoilant quelques théorèmes nouveaux qui anticiperont la longue théorie de l’Intégrale de Legesgue. {\displaystyle \sum |a_{n}|<\infty } Exemple du produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. [Remmert 1991]). {\displaystyle \sum a_{n}} a Cas complexe et vectoriel (en dimension finie). = ⋅ ] Exemples de produits de convolution 79 15.  L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne une relation d'ordre entre le produit scalaire de  x et  y et leur norme. θ La formule intégrale de Cauchy, due au mathématicien Augustin Louis Cauchy, est un point essentiel de l'analyse complexe.Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. 2 {\displaystyle \theta \in [0,2\pi ]} {\displaystyle \sum c_{n}} De la formule de Taylor réelle (et du théorème du prolongement analytique), on peut identifier les coefficients de la formule de Taylor avec les coefficients précédents et obtenir ainsi cette formule explicite des dérivées n-ièmes de f en a: Cette fonction est continue sur U et holomorphe sur U\{z}. θ 2. Elle fait partie des inégalités qu'un élève en classe prépa MPSI ou PCSI ne doit pas oublier. ∑ a Alors il est possible de définir la notion de produit de Cauchy de deux séries à valeurs dans A. θ Un cas particulier trivial est celui où les séries sont toutes les deux à termes nuls à partir d'un certain rang : dans ce cas, les sommes sont finies et il suffit d'utiliser le résultat du paragraphe précédent en évaluant les polynômes en 1. + On en déduit que le produit de deux fonctions développables en série entière sur un ouvert est lui aussi développable en série entière.

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